Наум Виленкин - В поисках бесконечности

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму — все остальные прилагательные. Например, прилагательное "русское" отнесем к первому классу, так как слово "русское" принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное "пятисложное", так как в слове "пятисложное" именно пять слогов. А прилагательное "немецкое" отнесем во второй класс, так как слово "немецкое" входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово "односложное", так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово "синее", так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто — сам и логос — смысл, закон), а прилагательные второго класса гетер о логичными ( гетерос — другой). Слова автологичный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологичный трудностей не возникает — его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает,- ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетерологичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.

Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит авто логичных слов.

Эти и аналогичные им парадоксы восходят к древнему парадоксу "Лжец", который приписывают греческому философу Евбулиду из Милета. Он состоит в том, что человек, говорящий "я лгу", не может быть ни говорящим правду, ни лжецом: если, произнося эти слова, он говорит правду, то он лжет, а если он, произнося эти слова, лжет, то он говорит правду.

Конечно, проще всего было бы сказать, что в теории множеств не рассматриваются столь причудливые множества. Однако, если не дать точного определения, какие же множества следует рассматривать, а какие отбросить, можно оказаться в положении человека, который, беседуя с длинноносым собеседником, сказал, "говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные". Это далеко не лучший способ избежать щекотливой темы.

Открытие парадоксов теории множеств произвело глубочайшее впечатление на математиков. Если, например, Пуанкаре до этого положительно относился к теории Кантора, то после опубликования теоретико-множественных парадоксов он стал насмешливо отзываться о ней, заявляя, что актуальной бесконечности не существует. Фреге, получив от Рассела письмо, содержавшее его парадокс, оказался вынужден сделать к выходившей уже из печати книге замечание, по сути дела зачеркивающее все ее содержание. Особенно тяжело отразилось открытие парадоксов на самом Канторе — он погрузился в размышления о том, как их устранить и, не достигнув в этом успеха, тяжело заболел и прекратил научную деятельность за много лет до смерти. Гильберт восклицал: "Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности,- образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"

Но на фоне триумфальных успехов математического анализа, основанных на теоретико-множественных концепциях, у большинства математиков выявленные парадоксы теории Кантора не вызывали вначале никакой тревоги, кроме разве что некоторого беспокойства за самые окраинные области математики.

Значительно большей неприятностью оказалось возникновение в теории множеств проблем, не получавших разрешения на протяжении длительного времени. Многие из них были связаны с казавшейся уже навсегда преодоленной пропастью между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Из двух главных видов мощностей, изученных Кантором,- счетной и континуальной — первая шла от арифметики, от понятия натурального числа, а вторая — от понятия континуума, от непрерывности. И, естественно, возник вопрос о взаимоотношении этих мощностей.

Наиболее естественным было предположение, что мощность континуума непосредственно следует за счетной, то есть что не может быть несчетного множества, мощность которого меньше континуальной. Если бы эта гипотеза оказалась верной, мощность континуума заняла бы свое место и на шкале трансфинитных чисел, она выражалась бы первым трансфинитным чистом, идущим за всеми трансфинитными числами счетного типа. Мощность всех счетных трансфинитных чисел получила название алеф первый, и вопрос состоял в том, равна ли этому алефу мощность континуума. Этот вопрос получил название проблемы или гипотезы континуума, и над ним долгие годы думал Георг Кантор. Много раз ему казалось, что проблема решена, однако все попытки в конце концов оказались безуспешными.

Не большего успеха добились и другие ученые, пытавшиеся доказать или опровергнуть гипотезу континуума, и она по праву занимала первое место в списке проблем Гильберта. В течение долгих лет думал о ней Н. Н. Лузин, но и от него решение ускользало, как мираж в пустыне.

Однажды к Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана [101] Шнирельман Лев Генрихович (1905-1938) — советский математик, автор выдающихся работ по теории чисел, топологии, топологическим и качественным методам математического анализа. , обладавшего исключительными математическими способностями. Чтобы проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал, а одной была... проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой математик пришел к Лузину и грустно сказал: "Одна задача почему-то не выходит".