Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Рис. 32

Все это надо было еще уточнить: на некоторых линиях для отделения части требуется бесконечно много точек, но эти точки не образуют в совокупности никакой линии. Урысону удалось точно сформулировать все нужные определения. В каком-то смысле его определения напоминали определения Евклида (оконечность линии — точки, оконечность поверхности — линии). Но это сходство примерно такое же, как между греческой триерой и современным океанским лайнером.

Уточним эти определения. Назовем границей точечного множества A в объемлющем его точечном множестве X совокупность всех точек на X, сколь угодно близко к которым есть как точки, принадлежащие A, так и точки из X, которые A не принадлежат. Например, для квадрата на плоскости граница совпадает с его обычной границей, а для того же квадрата в пространстве — с ним самим. Множество A называется открытым в X , если оно не содержит ни одной точки своей границы в X. Примером такого множества может служить круг на плоскости, если отбросить граничную окружность.

Множество X имеет размерность нуль , если любая его тонка содержится в сколь угодно малом множестве, граница которого в X пуста. Примерами таких множеств могут служить любое конечное множество точек, точки с рациональными координатами на прямой, канторово множество и т. д.

Далее, множество X имеет размерность один, если оно не является нуль-мерным, но любая его точка может быть заключена в сколь угодно малое открытое в X множество, граница которого в X нуль-мерна.

Оказалось, что не только все обычные линии (окружности, отрезки прямых, эллипсы и т. д.) имеют размерность единица по Урысону, но и все каиторовы линии имеют ту же размерность. Поэтому можно было определить понятие не только плоской, но и пространственной линии:

Линией называется континуум размерности единица.

А теперь было уже ясно, как определять поверхности, трехмерные тела и вообще множества любой размерности. Поскольку Урысон дает сначала определение размерности 0, затем с помощью этого определения — определение размерности 1, затем точно так же — определение размерности 2 и т. д., введенное Урысоном общее определение размерности называют индуктивным .

Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введенным им понятием размерности. Но одну самую главную теорему ему никак не удавалось доказать: не получалось доказательство того, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашел замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Мы не будем детально излагать это определение, а поясним его на простейших фигурах.

Рис. 33

Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам (рис. 33). При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырем частям (рис. 34, а). Но если уложить части так, как кладут кирпичи на стройке, то удается добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трем различным частям (рис. 34, б). Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды, при котором каждая точка принадлежит не более чем четырем параллелепипедам.

Рис. 34

Именно это свойство и принял Урысои за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если ее можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но при любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.

Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.

Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Геттингене. До прихода нацистов к власти Геттингенский университет был одним из основных математических центров. После доклада руководитель геттингенской математической школы знаменитый Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале "Mathematische Annalen" — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. "Но я же ясно сказал, что ее надо не рецензировать, а печатать!" — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.

В течение трех лет продолжалась не имеющая равных по глубине и напряженности научная деятельность Урысона (за это время он опубликовал несколько десятков научных работ). Трагический случай оборвал его жизнь — он утонул 17 августа 1924 г., купаясь во время шторма в Бискайском заливе. За день до смерти он закончил очередную научную работу.

После смерти П. С. Урысона остались многочисленные черновики и наброски неопубликованных результатов. Его ближайший друг (и соавтор по многим работам) Павел Сергеевич Александров, отложив на некоторое время свои исследования, подготовил эти работы к печати, сделав тем самым и эти результаты Урысона достоянием всех математиков. В настоящее время теория размерности стала важной главой математики.

Успехи, достигнутые в исследовании функций и линий при помощи теории множеств, сделали ее полноправным членом семьи математических наук. Это признание было зафиксировано на состоявшемся в 1897 г. Первом Международном конгрессе математиков, проходившем в швейцарском городе Цюрихе. В докладах виднейших специалистов по математическому анализу А. Гурвица [97] Гурвиц Адольф (1859-1919) — немецкий математик, автор работ в области математического анализа, теории функций, алгебры и теории чисел. и Ж. Адамара [98] Адамар Жак (1865-1963) — французский математик, автор выдающихся работ в области математической физики, теории функций, теории чисел. были показаны самые разнообразные применения множеств, вскрыта их связь с общей теорией так называемых аналитических функций. На проведенном через три года Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт поставил среди 23 важнейших нерешенных проблем математики и вопросы, связанные с теорией множеств. Высоко оценил работы Кантора в своем выступлении на том же конгрессе Анри Пуанкаре. Говоря о роли интуиции и логики в математике, он сказал, что в теории множеств математика обрела совершенно прочный и надежный фундамент и теперь в математике остаются только натуральные числа и конечные или бесконечные системы таких чисел. По его мнению, математика стала полностью арифметизированной и в ней, наконец, достигнута абсолютная строгость.