Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Взяв от Бореля идею суммирования рядов, он видоизменил определение меры, предложенное Жорданом, разрешив использовать кроме многоугольников и фигуры, получаемые из них с помощью объединения счетных совокупностей. Именно, назовем фигуру ε-покрываемой по Лебегу , если существует счетная система многоугольников, объединение которых покрывает эту фигуру, причем сумма ряда, составленного из их площадей, меньше, чем ε. Далее, назовем множество X измеримым по Лебегу, если для любого ε>0 его можно представить в виде многоугольника Δε, к которому присоединено одно ε-покрываемое множество и от которого отброшено другое ε-покрываемое множество. Если меру многоугольника A обозначить через |A|, то ясно, что мера множества X должна быть заключена между числами |A ε|-ε и |A ε|+ε. Оказалось, что для измеримых по Лебегу множеств всегда существует одно и только одно число, обладающее этим свойством, какое бы ε>0 мы ни выбрали и какой приближающий многоугольник A εни взяли. Это-то число и называют мерой Лебега множества X.

После создания понятия меры Лебега оказалось, что для нее нет никаких осложнений, причем по Лебегу можно измерить все встретившиеся до того в науке множества. Позднее были построены примеры неизмеримых множеств, но они используют так называемую аксиому выбора, о которой будет идти речь ниже. Построенные с ее помощью примеры не являются конструктивными. Поэтому можно сказать, что Лебег решил проблему измерения всех множеств, которые могут встретиться в практической работе математиков.

С помощью введенного им понятия меры Лебег сумел найти интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега).

Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков-классиков Гастон Дарбу [79] Дарбу Гастон (1842-1917) — французский математик, автор работ по дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и другим областям математики. изменил свое мнение и, выступая в 1908 г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики XX в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными перспективами. Он подчеркнул, что наука XX в. не боится атаковать основы построений, которые столь долго казались непоколебимыми.

Позднее идеи, приведшие к созданию меры и интеграла Лебега, позволили А. Н. Колмогорову построить аксиоматику теории вероятностей, а Норберту Винеру — определить понятия меры и интеграла для пространств, состоящих из функций. Всюду, куда проникали идеи меры, использовались конструкции и теоремы, восходящие к Лебегу. После упомянутых выше работ А. Н. Колмогорова эти идеи стали широко использоваться в теории вероятностей и ее приложениях, в частности в статистической физике. Применялись они и при изучении динамических систем. А уж о теоретической математике не приходится и говорить — без интеграла Лебега многие ее важнейшие результаты невозможно даже и сформулировать. Недаром в гимне "Лузитании" — группы молодых советских математиков, посвятивших себя в 20-е годы изучению новейшей теории функций, пелось: "Наш бог — Лебег, Кумир наш — интеграл". Но о "Лузитании" названной в честь общего учнтеля этих математиков, основателя русской школы теории функций действительного переменного Николая Николаевича Лузина, надо сказать подробнее — ее роль в изучении математических проблем, связанных с бесконечными множествами, трудно переоценить.

После описанных выше работ, приведших к созданию новой теории функций, интерес к этой теории необычайно возрос во всем мире. В Геттингене Д. Гильберт и его ученики применяли новое понятие интеграла для изучения круга вопросов, связанных с так называемыми интегральными уравнениями, ряд интереснейших теорем доказали итальянские математики.

В XIX в. общепризнанным центром русской науки был Петербург, где в стенах Петербургской академии наук свято хранили традиции Эйлера и Д. Бернулли, где трудились замечательные русские математики М. В. Остроградский [80] Остроградский Михаил Васильевич (1801-1862) — русский математик, один из основателей петербургской математической школы, автор выдающихся работ по уравнениям математической физики, математическому анализу, теоретической механике. и П. Л. Чебышев [81] Чебышев Пафнутнй Львович (1821-1894) — русский математик и механик, основатель петербургской математической школы, автор замечательных работ по математическому анализу, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов. , А. А. Марков [82] Марков Андрей Андреевич (1856-1922) — русский математик, автор выдающихся работ по теории чисел, математическому анализу, теории вероятностей. и А. М. Ляпунов [83] Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) — русский математик и механик, автор выдающихся работ в области теории потенциала, устойчивости движения, теории равновесия фигур вращающейся жидкости, теории вероятностей. , В. А. Стеклов [84] Стеклов Владимир Андреевич (1864-1926) — русский и советский математик, автор выдающихся работ по математической физике. и А. Н. Коркин [85] Коркин Александр Николаевич (1837-1908) — русский математик, автор работ по теории чисел и по уравнениям в частных производных. . Всех их объединяла искренняя любовь к исследованиям в области математического анализа и его приложений, к решению трудных конкретных проблем математики. А вот новомодные исследования по теории множеств и теории разрывных функций никакого отклика в их сердцах не находили. Слишком далекими казались им эти исследования от тех задач, которыми они занимались (хотя впоследствии полученные на этих новомодных путях результаты оказались полезными как раз во многих традиционных областях математики).

Иначе сложилось дело в древней столице России. Здесь в стенах прославленного Московского университета уже в начале XX в. стали читаться курсы по теории множеств, а в 1907 г. московский ученый И. И. Жегалкин [86] Жегалкин Иван Иванович (1869-1947) — советский математик, автор работ по математической логике, основаниям математики, теории множеств. защитил магистерскую диссертацию по трансфинитным числам. Внимание этому кругу вопросов уделил и один из крупнейших московских математиков того времени Д. Ф. Егоров [87] Егоров Дмитрий Федорович (1869-1931) — советский математик, автор работ по дифференциальной геометрии, теории интегральных уравнений и теории функций действительного переменного. , хотя основным делом его жизни были исследования по дифференциальной геометрии. Ему удалось доказать теорему о сходимости рядов, которая стала одним из важнейших орудий во всех исследованиях по теории функций. По самое главное было в том, что он привлек к этим исследованиям своих молодых учеников и в том числе начинавшего в те годы свою научную карьеру Н. Н. Лузина.