Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Рис. 26

Но и среди канторовых линий есть такие, что их свойства совершенно непохожи на свойства обычных линий. Сейчас мы расскажем о некоторых таких линиях.

Конечно, после того как читатель познакомился с линиями, проходящими через все точки квадрата, он может ожидать чего угодно. Но все же, может ли линия иметь площадь? Ведь еще Евклид говорил, что линия — это длина без ширины. А там, где нет ширины, нет, казалось бы, и площади. Да и в определении канторовой линии сказано, что она не содержит ни одного целого куска плоскости. Откуда же в этом случае взяться площади? Но мы уже много раз видели, что применение бесконечных процессов приводит к совсем неожиданным результатам.

Прежде чем исследовать вопрос, надо договориться о точном смысле употребляемых слов. Что значат слова "линия имеет нулевую площадь" или "линия имеет ненулевую площадь"? Возьмем самую обычную линию — прямолинейный отрезок. Так как его ширина равна нулю, то отрезок можно поместить внутрь прямоугольника сколь угодно малой площади, нужно лишь выбрать ширину этого прямоугольника достаточно малой. Точно так же и окружность можно поместить внутрь многоугольника со сколь угодно малой площадью. Для этого достаточно вписать в нее правильный многоугольник с очень большим числом сторон и описать аналогичный многоугольник. Область, заключенная между этими двумя многоугольниками, будет иметь малую площадь (тем меньшую, чем больше сторон у наших многоугольников), а окружность целиком лежит в этой области (рис. 27).

Рис. 27

Теперь уже ясно, что означают слова линия имеет нулевую площадь. Они значат, что, какое бы маленькое положительное число ε мы ни взяли, найдется многоугольная область, содержащая линию и такая, что площадь области меньше, чем ε. А если хоть для одного положительного ε такой области не удастся найти, тогда площадь линии не равна нулю.

Применим теперь это определение не к таким простым линиям, как отрезок или окружность, а к более сложным, например к ковру Серпинского. Простой подсчет показывает, что после n выбрасываний остается фигура, площадь которой равна ( 8/ 9) n. Но 8/ 9— правильная дробь, а при возведении такой дроби в степень с увеличением показателя результат уменьшается и стремится к нулю. Это означает, что для любого ε>0 после достаточно большого числа шагов получится многоугольная область, площадь которой меньше, чем ε. А эта область целиком накрывает ковер Серпинского. Выходит, площадь ковра Серпинского равна нулю.

Рис. 28

Казалось бы, полный триумф определения Евклида. Даже у такой сложной линии, как ковер Серпинского, площадь равна нулю. Но праздновать победу преждевременно. Ведь никто не заставлял нас выбрасывать такие большие куски. На рис. 28 изображен более экономный способ выбрасывания квадратиков. Подбирая должным образом их размеры, можно добиться того, чтобы общая площадь выброшенных фигур не превышала 1/ 2. Но тогда на каждом шагу описанного процесса будет оставаться многоугольная область, площадь которой никак не меньше, чем 1/ 2. Отсюда легко следует, что остаток, получающийся после всех выбрасываний, не удастся покрыть многоугольной областью, если ее площадь окажется меньше, чем 1/ 2. Значит, о нем нельзя сказать, что его площадь равна нулю. А ведь этот остаток, как и ковер Серпинского, является кривой (в смысле Кантора) — при его построении мы дырявили каждый прямоугольник и ни одного целого прямоугольника не оставили.

Выходит, таким образом, что кривая в смысле Кантора может иметь ненулевую площадь!

Все же разобранный пример еще не слишком убедителен: полученная линия сплошь состоит из точек самопересечения и не ограничивает никакой области. Поэтому возникает вопрос: а может ли "хорошая" кривая, не имеющая точек самопересечения, то есть замкнутая жорданова кривая без самопересечений, иметь ненулевую площадь? Оказывается, может!

Чтобы построить такую кривую, изменим немного проводившееся построение. Сначала построим множество, в котором не только что целого куска плоскости, а и целого куска линии не найдешь, но площадь которого не равна нулю. Для этого надо выбрасывать не только центральные квадратики, а целые кресты, как это показано на рис. 29. При этом размеры удаляемых фигур подберем так, чтобы общая площадь их оказалась меньше половины площади всего квадрата. Тогда на долю остатка придется по крайней мере половина всей площади квадрата. Но при построении остатка мы выбрасывали целые кресты, безжалостно кромсая квадрат. Никакие две точки этого остатка нельзя соединить линией, даже линией в смысле Кантора; всякая связь между его точками отсутствует. Как говорят математики, остаток является вполне несвязным множеством. А площадь этого множества, не содержащего ни целого куска плоскости, ни дуги кривой, отлична от нуля; никакой многоугольной областью, площадь которой меньше 1/ 2, это множество не накроешь.

Рис. 29

Теперь уже легко построить пример несамопересекающейся замкнутой кривой, имеющей ненулевую площадь. Для этого нужно соединить полученные точки точно так же, как мы проводили кривую через все точки квадрата. Из-за того, что на каждом шагу мы выбрасывали целые кресты, получающаяся линия не имеет самопересечений (этим она и отличается от кривой Пеано). Но так как она проходит через все точки множества, площадь которого по крайней мере равна 1/ 2, то и площадь полученной линии по крайней мере равна 1/ 2.

Теперь уже ничего не стоит построить область, не имеющую площади. Для этого надо соединить точки А и В полученной кривой какой угодно линией, например полуокружностью. Тогда полученная линия Г ограничивает какую-то область G. Чему же равна ее площадь? Ответ получится разный в зависимости от того, присоединим мы к этой области ее границу или нет — ведь сама граница имеет площадь, по крайней мере равную 1/ 2. Ясно, что обычной площади наша область не имеет. Такие области, не имеющие обычной площади, в математике называют неквадрируемыми.

Над тем, что такое площадь фигуры, математики задумались еще до открытия неквадрируемых областей. До этого на протяжении многих тысячелетий ученые пользовались понятиями длины, площади, объема, не подвергая их строгому критическому анализу. Рассказывают, что когда один французский генерал принес в Парижскую академию наук свое "решение" проблемы квадратуры круга, его спросили, а что именно он понимает под площадью круга. "Площади не определяют, их вычисляют!" — воскликнул бравый генерал. И такая точка зрения была распространена тогда даже среди математиков. Они считали, что площадь — это число, сопоставленное геометрической фигуре и обладающее очевидными свойствами (площадь целого равна сумме площадей частей, конгруэнтные фигуры имеют равные площади и т. д.). Ни на одну минуту они не сомневались в том, что любая плоская геометрическая фигура имеет площадь (быть может, равную нулю или бесконечности).