Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Когда перед математиками прежних времен вставал сложный геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смотреть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы, стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений, прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как аксиомы, леммы и теоремы.

Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида "Начала" гласят следующее:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Оконечность же линии — точка.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

5. Оконечность же поверхности — линия.

6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

7. Фигура есть то,- что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.

Нет, как хотите, а это что угодно, но не строгие математические определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверхность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих "определений", напоминающих ответ растерявшегося генерала ("Линия — это особь статья, а поверхность — особь статья"). И уж во всяком случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Серпинского — линия или поверхность,; есть ли у него только длина без ширины или и длина, и ширина.

Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпинского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где поверхность. Впрочем, и сам Евклидг по-видимому, чувствовал, что с определениями основных понятий у него не все ладно. Во всяком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими не воспользовался.

На протяжении двух тысячелетий авторитет Евклида стоял совершенно незыблемо. Усомниться в каком-нибудь его положении означало окончательно и бесповоротно подорвать свою математическую репутацию. Один из величайших математиков XIX в. Карл Фридрих Гаусс, еще до Лобачевского пришедший к идеям неевклидовой геометрии, не решился опубликовать свои исследования, опасаясь, как он писал одному другу, крика беотийцев [71] Беотийцы — греческое племя, которое считалось весьма экономно наделенным умственными способностями. . И только научный подвиг великого русского геометра Николая Ивановича Лобачевского, который опубликовал свои открытия, невзирая на насмешки не понимавших его ученых, сделал неевклидову геометрию всеобщим достоянием.

После появления трудов Н. И. Лобачевского стало ясно, что существуют две геометрии, одинаково безупречные логически, но приводящие к совершенно различным теоремам. Но если это так, то всякие ссылки на "геометрическую очевидность" полностью потеряли цену. Каждое геометрическое утверждение надо было основывать на строгих определениях, безупречных логических утверждениях. И уж во всяком случае основным геометрическим понятиям — линии, фигуре, телу — надо было дать точные определения, ничем не напоминающие определения типа "это — особь статья, а то — особь статья".

Стремление к строгим определениям характеризовало не только геометрию, но и математический анализ XIX в.

С помощью дифференциального и интегрального исчислений, созданных трудами Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа [72] Лагранж Жозеф (1736-1813) — французский математик и механик, один из создателей вариационного исчисления, автор ряда работ в области математического анализа и его приложений. и других великих математиков XVII и XVIII вв., удалось решить самые разнообразные задачи — от расчета траектории артиллерийского снаряда до предсказания движений планет и комет. Но основные понятия, с помощью которых достигались эти замечательные результаты, были определены крайне нестрого. Основа тогдашнего математического анализа — понятие бесконечно малой величины казалось чем-то стоящим на грани бытия и небытия, чем-то вроде нуля, но не совсем нуля. И математики XVIII в. были вынуждены ободрять своих сомневающихся учеников словами: "Работайте, и вера к вам придет".

Но ведь математика не религия, строить ее на вере нельзя. А самое главное — методы, дававшие столь замечательные результаты в руках великих мастеров, стали приводить к ошибкам и парадоксам, когда ими стали пользоваться менее талантливые ученики. Мастеров оберегала от ошибок их абсолютная математическая интуиция, то подсознательное чувство, которое часто приводит к правильному ответу скорее, чем длинные логические рассуждения. Ученики же такой интуицией не обладали, и конец XVIII в. ознаменовался неслыханным скандалом в математике — наплывом формул, стоивших меньше, чем бумага, на которой они были напечатаны, и сомнительных теорем, область приложимости которых была совершенно неясна.

И, подобно детям, ломающим красивую игрушку, чтобы посмотреть, как она устроена, математики XIX в. подвергли жестокой критике все применявшиеся до того понятия, стали перестраивать математику на базе строгих определений. Ссылки на наглядность отвергались, вместо нее требовали строжайшей логики. Но требованиям логики не удовлетворяли самые простые фразы из курса математического анализа, например такие, как:

"Рассмотрим область G 1ограниченную замкнутой линией Г".

Что такое замкнутая линия? Почему она является границей области? На сколько частей замкнутая линия разбивает плоскость и какую из этих частей рассматривают?

На все эти вопросы математики XVIII в. не давали ответа. Они просто рисовали овал и думали, то этим все сказано. А в XIX в. рисункам уже не верили. Для аналитиков вопрос "что такое линия?" тоже стал одним из самых жгучих.

Однако прошло много времени, прежде чем удалось дать на него исчерпывающий ответ.

Для того чтобы дать строгое определение линии, надо было исходить из тех наглядных образов, которые привели к созданию этого математического понятия: длинных и тонких нитей, лучей света, длинных и узких дорог. Во всех этих случаях длина настолько больше ширины, что шириной можно пренебречь. В результате математической идеализации мы и приходим к понятию линии, не имеющей ширины.

Первым попытался дать строгое определение того, что такое линия, Камилл Жордан [73] Жордан Камилл (1838-1922) — французский математик, один из создателей теории групп. . Линией он называл траекторию движущейся точки. При этом точка должна была двигаться непрерывно, не делая скачков.