Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Математики построили много непрерывных функций, графики которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства "добропорядочных" гладких функций, с которыми они до тех пор имели дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях, с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший представитель классического математического анализа Шарль Эрмит [67] Эрмит Шарль (1822-1901) — французский математик, автор многочисленных исследований по математическому анализу, алгебре, теории чисел. так писал своему другу, голландскому математику Стилтьесу [68] Стилтьес Томас (1856-1894) — голландский математик, автор ряда работ по математическому анализу. . "Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке" (то есть, как мы их называли, всюду колючих линий).

Рис. 18

В физике встречаются линии, очень напоминающие колючие линии Ван-дер-Вардена и других. Это — траектории частиц, совершающих под ударами молекул броуновское движение. Французский ученый Ж. Перрен [69] Перрен Жан (1870-1942) — французский физик и физико-химик, экспериментально изучал броуновское движение. сделал; зарисовки движения таких частиц. Он наблюдал их положения через каждые полминуты и соединял полученные точки прямолинейными отрезками. В результате у него получились запутанные ломаные, вроде изображенных на рис. 18. Но не следует думать, что в действительности между отдельными наблюдениями частица двигалась по прямой. Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты, а через полсекунды, то каждый прямолинейный отрезок пришлось бы заменить ломаной, столь же сложной, как и ломаные на рис. 18. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее и "колючее" становилась бы ломаная. Американский математик Н. Винер [70] Винер Норберт (1894-1964) — американский ученый, "отец кибернетики". Ряд его работ посвящен функциональному анализу и изучению бесконечномерных пространств. показал, что движение броуновской частицы, настолько малой, что ее инерцией можно пренебречь, совершается по линии, нигде не имеющей касательной.

С линиями бесконечной длины мы встречаемся часто — бесконечную длину имеют прямая линия, парабола, гипербола и т. д. Все эти линии уходят в бесконечность, а потому и неудивительно, что их длина бесконечна. Впрочем, нетрудно построить и линию, целиком лежащую в конечной части плоскости, но имеющую бесконечную длину. Для этого надо взять окружность и намотать на нее спираль с бесконечным числом оборотов. Так как число оборотов бесконечно, а длина каждого витка больше длины окружности, то длина всей спирали бесконечна.

Но может ли существовать замкнутая линия бесконечной длины? Обычные замкнутые линии: окружность, эллипс, кардиоида — имеют конечную длину. Длина же колючей линии Ван-дер-Вардена бесконечна.

В самом деле, легко подсчитать, что после n-го шага получается линия, имеющая периметр 3*( 4/ 3 n). Но при возрастании n это выражение стремится к бесконечности. Отсюда и вытекает, что длина линии Ван-дер-Вардена бесконечна.

Рассказывают, что Екатерина II однажды спросила какого-то генерала, в чем разница между мортирой и гаубицей. Растерявшийся генерал ответил: "А видишь ли, государыня-матушка, мортира-то она особь статья, а гаубица — особь статья". Примерно столь же содержательный ответ можно получить, если спросить далекого от математики человека, в чем разница между линией, поверхностью и телом. Более того, он удивится, как можно спрашивать о столь очевидных вещах. Ведь всякому ясно, что линия, поверхность и тело — совсем разные вещи, и никто не назовет окружность поверхностью или сферу линией.

Но один остроумный шахматный гроссмейстер сказал, что разница между мастером и начинающим шахматистом состоит в том, что начинающему все ясно в позиции, где для мастера все полно тайны. Так же обстоит дело и с нашим вопросом. Конечно, относительно таких геометрических фигур, как квадрат или окружность, ни у кого не возникает сомнений, линии они или поверхности. Но в ходе развития науки после открытий Кантора появилось много самых причудливых геометрических фигур, относительно которых не только школьник, но и умудренный знаниями профессор математики не сразу ответит, что это такое — линия, поверхность или тело.

Рис. 19

Вот некоторые из этих фигур. Возьмем квадрат со стороной 1, разделим его на 9 равных квадратиков и выкинем среднюю часть (оставив ее стороны). После этого разделим каждый из оставшихся квадратов снова на 9 равных квадратиков и снова удалим центральные квадратики. Еще один такой шаг приведет к фигуре, изображенной на рис. 19, где заштрихованы все выброшенные квадратики. Ясно, что эта фигура еще является поверхностью. Но мы не остановимся и будем бесконечно много раз делить квадратики на 9 равных частей, после чего выбрасывать среднюю часть. В конце концов у нас получится геометрическая фигура, которую называют ковром Серпинского по имени придумавшего ее польского ученого.

Эта фигура похожа на ткань, сотканную сумасшедшим ткачом. Вдоль и поперек идут нити основы и утка, сплетаясь в очень симметричные и красивые узоры. Но сама получившаяся ткань весьма дырява — ни одного целого куска в ней нет, каждый самый маленький квадратик подвергался вырезанию центральной части. И совсем неясно, чем является этот ковер — линией или поверхностью? Ведь, с одной стороны, он не содержит ни одной целой части, а потому вряд ли является поверхностью, а с другой — образующие его нити сплелись в настолько сложный узор, что вряд ли кто-нибудь без колебаний назовет ковер Серпинского линией. Во всяком случае, нарисовать эту "линию" было бы невозможно.

Рис. 20

А ковер Серпинского — не самая сложная из геометрических фигур. Вместо квадрата мы разделим кубик на 27 равных кубиков и выбросим центральный кубик вместе о шестью прилегающими к нему кубиками. После этого разделим каждый оставшийся кубик еще на 27 частей и продолжим операцию выбрасывания (на рис. 20 изображено тело, остающееся после двух выбрасываний). Проделаем эту операцию бесконечно много раз. Чем является оставшаяся после всех выбрасываний геометрическая фигура — линией, поверхностью или телом?