Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Трудно передать словами впечатление, произведенное на математический мир результатом Пеано. Казалось, что все рухнуло, что самые основные математические определения потеряли всякий смысл, не было видно различия между линией и поверхностью, поверхностью и телом (результат о невозможности взаимно однозначного и непрерывного соответствия между отрезком и квадратом еще не был известен). Пуанкаре с горечью воскликнул: "Как могла интуиция до такой степени обмануть нас!"

Стало ясно, что жорданово определение кривой не безупречно. С одной стороны, оно слишком широко: под него подходит и кривая Пеано. А с другой стороны, оно слишком узко — даже окружность с намотанной на нее спиралью уже не является жордановой кривой.

Итак, снова встал вопрос: что же такое линия и чем она отличается от поверхности? Ответ на него был связан с общими исследованиями Кантора о геометрических фигурах.

Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том, что такое геометрическая фигура? Самый общий ответ на этот вопрос гласил: геометрическая фигура — это любое множество точек пространства. Если это множество лежит на плоскости, то получается плоская геометрическая фигура. Но такой ответ был бы слишком общим — у "фигур" в этом смысле нет почти никаких достаточно интересных свойств.

Поэтому надо было в первую очередь ограничить совокупности изучаемых множеств, выделить из них те, которые ближе всего по своим свойствам к обычным геометрическим фигурам.

Чтобы выделить такой класс фигур, выясним, что общего имеют друг с другом обычные фигуры, такие, как квадрат, круг, отрезок прямой, астроида и т. д. Оказывается, все эти фигуры можно получить единообразным процессом.

Про многих знаменитых скульпторов рассказывают, что на вопрос, как удается делать столь замечательные статуи, следовал ответ: "Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее". В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело, о Торвальдсене, о Родене.

Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шагу отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница — окружность — остается в фигуре.

Рис. 23

На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры такого вида, как на рис. 23. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а бесконечное, точнее говоря, счетное множество кругов. Таким путем можно получить любую фигуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно принять во внимание, что множество кругов, у которых рациональны и радиус и обе координаты центра, счетное (это легко доказывается описанными во второй главе методами). А теперь, чтобы получить любую фигуру, достаточно взять содержащий ее квадрат ("глыбу мрамора") и отбросить все круги указанного выше вида, которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры. Если же выбрасывать круги не из квадрата, а из всей плоскости, то описанным приемом можно получить и неограниченные фигуры.

С помощью описанного выше метода можно получить круги и квадраты, эллипсы и астроиды, любые правильные многоугольники и звезды. Но получить таким путем квадрат с выброшенной вершиной не удастся — при попытке вырезать эту вершину придется удалить и какую-то ее окрестность. В математике фигуры, получаемые из плоскости вырезанием счетного множества кругов (напомним, что при этом граница выбрасываемого круга остается нетронутой), называют замкнутыми.

Оказывается, что кроме обычных геометрических фигур с помощью выбрасывания счетного множества кругов (квадратов и т. д.) можно получать и другие множества, не слишком похожие на обычные фигуры, но все же обладающие многими интересными свойствами. Например, ковер Серпинского, о котором мы уже говорили, получается именно таким путем: из квадрата со стороной 1 выбрасывают один за другим маленькие квадратики, причем их стороны остаются.

Рис. 24

Однако путем выбрасывания можно получить и "фигуры", не состоящие из одного куска. Например, если удалять "кресты" [75] При этом вместе с каждым крестом удаляются его концевые промежутки, например промежутки AB, CD, EF, GH. , как на рис. 24, то получится в конце концов множество, не содержащее ни одного целого куска (как говорят, вполне несвязное). Поэтому мы введем ограничение, что после каждого выбрасывания должно оставаться множество, состоящее из одного куска. Тогда и после всех выбрасываний останется множество из одного куска (то есть, как говорят математики, связное). Кроме того, получающееся множество ограничено, то есть целиком лежит в некотором квадрате.

Итак, рассматриваемые множества удовлетворяют следующим условиям:

1. множество F получается из квадрата выбрасыванием счетного множества кругов с оставлением их границ, то есть замкнуто;

2. множество F состоит из одного куска, то есть связно.

Эти множества Кантор и назвал континуумами (напомним, что латинское слово continuum означает непрерывный). Континуумы и оказались наиболее общими множествами, свойства которых очень близки к свойствам обычных геометрических фигур.

Теперь мы уже готовы ответить на вопрос, что же такое плоская линия. Так как плоские линии должны быть геометрическими фигурами, то ясно, что искать их надо среди континуумов. Но континуумами являются и круг, и квадрат, а эти фигуры никак не назовешь линиями. Поэтому надо добавить еще какое-то условие, которое отмело бы такие фигуры.

Заметим, что и круг, и квадрат содержат "сплошные" куски плоскости. А линии сплошных кусков плоскости не содержат; какой бы маленький квадратик мы ни взяли, всегда на нем найдутся точки, не принадлежащие линии (рис. 25). Вот это и является нужным нам дополнительным условием: плоской линией в смысле Кантора называют лежащий на плоскости континуум, не заполняющий ни одного сплошного куска плоскости (то есть такой, что в каждом квадрате есть точки, не принадлежащие этой линии).

Рис. 25

Например, отрезок, контур треугольника, окружность, четырехлепестковая роза — все это линии. Линией является и ковер Серпинского. Так как при его построении мы продырявили все квадраты, получавшиеся при делении, то ни одного целого куска плоскости он не содержит. Канторовой линией является и окружность вместе с намотанной на нее спиралью, и пилообразная линия на рис. 26 вместе с отрезком [0, 1] оси ординат. Вообще все фигуры, являющиеся линиями в наглядном, наивном понимании, являются линиями и в смысле Кантора. А фигуры, содержащие хоть один целый кусок плоскости, не относятся к числу канторовых линий.