Наум Виленкин - В поисках бесконечности

А теперь уже ясно, почему множество "мокрых" точек имеет мощность континуума. Ведь это множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством бесконечных телеграмм. Для этого нужно лишь каждой точке вида

0,20220200...

поставить в соответствие бесконечную телеграмму, заменив 0 на точку, а 2 — на тире. При этом разным числам будут соответствовать разные телеграммы. Мы знаем, что множество бесконечных телеграмм имеет мощность континуума. Поэтому и множество "мокрых" точек имеет ту же мощность.

Множество точек, которые мы назвали "мокрыми", впервые построил Кантор, и его называют канторовым множеством. Из построения палаток видно, что около каждой точки канторова множества есть бесконечно много максимумов и минимумов пилообразной линии.

С тем же самым канторовым множеством связана еще одна интересная функция. Она строится следующим образом. Снова разделим отрезок [0, 1] на три равные части и положим, что во всех точках средней части наша функция равна 1/ 2. Потом левую и правую трети снова разделим на три равные части и положим, что от 1/ 9до 2/ 9функция равна 1/ 4, а от 7/ 9до 8/ 9она равна 3/ 4. Теперь у нас остались четыре отрезка, на которых функция еще не определена:

Разделим каждый из них на три равные части и на каждой из средних частей положим функцию равной соответственно

Продолжая этот процесс, мы получим функцию, которая определена во всех "сухих" точках, то есть во всех точках, не принадлежащих канторову множеству. Ее легко определить и в точках этого множества так, чтобы она стала после этого непрерывной и неубывающей. График получившейся функции приближенно изображен на рис. 14. Он имеет вид лестницы с бесконечным числом ступенек (на графике изображены не все ступени).

Рис. 14

Впрочем, после того как мы познакомились с линиями, имеющими бесконечно много максимумов и минимумов, лестницей с бесконечным числом ступенек вряд ли кого удивишь. Но удивительно другое. Подсчитаем общую длину всех ступенек нашей лестницы. Первая ступень имеет длину 1/ 3, две вторые — по 1/ 9, следующие четыре ступени имеют длину по 1/ 27и т. д. Таким образом, сумма длин всех ступеней выражается бесконечной геометрической прогрессией

Сумма этой прогрессии равна 1:

Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1.

Но на этих ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого множества осталось очень "мало" точек: хотя его мощность и равна континууму, но длина равна нулю! (Длина всего отрезка [0, 1] равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю канторова множества остается лишь нулевая длина.) Таким образом, наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не правда ли, удивительно?

На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. Линия, изображенная на рис. 15, а, имеет две точки излома, а линия, изображенная на рис" 15, б,- десять точек излома.

Рис. 15

Но линии, которые мы только что построили, имеют уже бесконечно много точек излома, например линия на рис. 13 ломается во всех точках канторова множества, а кроме того, в вершинах всех треугольников. Однако даже линия на рис. 13 имеет изломы на сравнительно "маленьком" множестве точек, длина которого равна нулю.

В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось пои строить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью. Первым сделал это Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить — он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано напоминает линии, которые мы строили раньше.

Вот этот пример с небольшими изменениями. Разделим отрезок [0, 1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 16, а). Получившаяся линия является графиком некоторой функции, которую обозначим через y = f 1(x).

Рис. 16

Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 16, б). Мы получим график второй функции y = f 2(x). Если сложить эти две функции, то график суммы y = f 1(x) + f 2(x) будет иметь вид, изображенный на рис. 16, в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функцию y = f 3(x) к функции y = f 1(x) + f 2(x).

Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом в каждой точке и ни в одной точке к ней нельзя провести касательную.

Рис. 17

Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной, построил голландский ученый Ван-дер-Варден [66] Ван-дер-Варден Бартел (р. 1903) — голландский математик, работал в области алгебры, статистики, истории математики. . Он взял равносторонний треугольник,разделил каждую его сторону на три равные части и на средних частях построил новые равносторонние треугольники, смотрящие наружу. У него получилась звезда. Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая линия, изображенная на рис. 17. После бесконечного числа делений и построений правильных треугольников получилась линия, в каждой точке которой есть излом, колючка.