Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Но была в математике область, для которой теория множеств явилась хлебом насущным — новейшая для той поры теория функций действительного переменного. Чтобы понять, почему именно в этой области идеи Кантора оказались особенно полезными, нам придется вспомнить ход развития понятия функции.

Большинство математических понятий прошло долгий путь развития. Первоначально они возникали как обобщение каких-то наглядных представлений, повседневного опыта. Потом из этих наглядных представлений путем отбрасывания частностей и случайных черт выкристаллизовывались точные математические определения. Но часто оказывалось, что эти определения охватывают не только те объекты, изучение которых привело к формулировке данного определения, но и многие объекты, о которых раньше и не думали. Начиналось изучение этих новых объектов, переход к абстракции более высокого уровня, а потом на этой базе — расширение первоначально введенных определений. При этом в математические понятия вкладывался все более широкий смысл, они охватывали все большую совокупность объектов, получали все более разнообразные приложения.

Сложный путь прошло и понятие функции. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке, где она применялась в геометрии. В начале XVII в. Галилей, Кеплер и другие ученые стали развивать кинематику — науку о движении тел. [59] Маркс К., Энгельс Ф, Соч. 2-е изд., т, 20, с. 573. Исходя из этих работ, Декарт ввел в математику общее понятие переменной величины. Фридрих Энгельс так оценивал значение этого события:

"Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало ... необходимым дифференциальное и интегральное исчисление , которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем".

С помощью переменных величин ученые XVII в. описывали самые разнообразные движения, в результате чего геометрический язык сменился в математике языком механики. Например, вводя в науку логарифмическую функцию, Непер [60] Непер Джон (1550-1617) — шотландский математик, создатель теории логарифмов. пользовался изучением движения точек по прямой линии, а Ньютон считал, что математический анализ должен изучать зависимость от времени тех или иных величин, характеризующих движение (пути, скорости, ускорения и т. д.). Впрочем, до поры до времени сохранялся и геометрический язык. Например, рассматривали не тригонометрические функции числового аргумента, а длины некоторых отрезков в круге как функции угла. Даже само понятие функции Лейбниц ввел первоначально как связь между собой некоторых отрезков, характеризующих точки на кривой линии (абсциссы и ординаты, абсциссы и отрезка касательной между точкой касания и осью абсцисс и т. д.).

Но уже в 1718 г. И. Бернулли [61] Бернулли Иоганн (1667-1748) — швейцарский математик, один из создателей математического анализа, внес большой вклад в развитие понятия функции. дал определение функции, свободное от геометрических образов: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". А Эйлер [62] Эйлер Леонард (1707-1783) — математик, физик, механик и астроном. Родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России. Автор замечательных работ по математическому анализу, в которых он развил общие методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, изучал функции комплексного переменного. определял функцию так: "Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями". Эйлеру же удалось освободить и тригонометрию от геометрического языка — он ввел общее понятие тригонометрической функции числового переменного.

В эпоху Эйлера считали, что функция должна быть выражена единой формулой, в противном случае ее рассматривали как "сшитую" из нескольких функций. Например, функция

считалась состоящей из двух различных функций.

Вскоре выяснилось, что дело обстоит значительно сложнее. Решая задачу о колебании струны, Д. Бернулли [63] Бернулли Даниил (1700-1782) — физик и математик, сын Иоганна Бернулли. Автор ряда работ в области математической физики. получил ответ в виде суммы бесконечного ряда, членами которого были произведения двух тригонометрических функций, одна из которых зависела от момента времени t, а вторая — от координаты точки струны. Согласно принятому в ту эпоху мнению это означало, что отклонение струны является функцией двух переменных, имеющей, как и положено, единое выражение.

Ту же самую задачу решил Д'Аламбер, но его решение имело совсем иной вид, чем у Бернулли,- при разных значениях аргументов оно задавалось различными формулами. Перед математикой XVIII в. возникло казавшееся неразрешимым противоречие: для одной и той же зависимости получилось два результата, причем один из них для всех значений аргументов выражался одной и той же формулой, а другой — несколькими формулами. Из-за этого решение Д. Бернулли было подвергнуто сомнению: думали, что он нашел не все решения задачи, а лишь решения, выражающиеся одной формулой. Возник ожесточенный спор, в котором приняли участие все крупнейшие математики XVIII в.- Эйлер, Д'Аламбер и др.

По сути дела, спор шел о понятии функции, о связи между функциональной зависимостью и возможностью выразить эту зависимость формулой. Окончательное решение вопроса было получено в начале XIX в., когда Ж. Фурье [64] Фурье Жозеф (1768-1830) — французский математик. Изучал уравнения математической физики, широко используя для их решения тригонометрические ряды. показал, что сумма бесконечного ряда, состоящего из тригонометрических функций, может на различных участках выражаться различными формулами. После этого он дал новое определение функции, подчеркнув в нем, что главным является задание значений функции, а совершается ли это задание некоторой единой формулой или нет, несущественно.

Результаты Фурье были уточнены немецким математиком Дирихле, который показал, что графиком суммы тригонометрического ряда может быть любая, произвольно проведенная линия. Требуется лишь, чтобы число максимумов и минимумов на этой линии было конечным и линия не поднималась бесконечно высоко.

После длительного обсуждения, в котором приняли участие многие выдающиеся ученые (в том числе Н. И. Лобачевский), стало общепринятым следующее определение функции: "Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y".