Наум Виленкин - В поисках бесконечности

После падения античной цивилизации центр математических исследований переместился в арабоязычные страны. Ученые этих стран были знакомы не только с наследием древних греков, но и с шедшей от вавилонских писцов традицией, содержавшей общие методы решения арифметических задач. Оказали на них влияние и открытия индийских математиков, которые создали десятичную систему счисления и, в отличие от древнегреческих ученых, свободно пользовались в своих работах отрицательными числами. Все это подготовило почву для создания алгебры, которая возникла в IX в. н. э. как наука о решении уравнений. Математики той эпохи, многие из которых жили в Средней Азии, не слишком задумывались над тонкостями, связанными с несоизмеримыми отрезками, и свободно использовали числа при изучении проблем геометрии.

Через несколько столетий начались исследования по алгебре и в Западной Европе (сначала в Италии), где были получены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, начато изучение комплексных чисел и стала развиваться буквенная символика. Буквенное исчисление сначала, в соответствии с древнегреческими традициями, носило геометрическую форму, что препятствовало рассмотрению выражений, содержавших слагаемые различных степеней.

Перед математической наукой возникла необходимость построить алгебру без опоры на геометрические понятия, освободить ее от несвойственной ей геометрической терминологии. Решающий шаг в этом направлении сделал Декарт [53] Декарт Рене (1596-1650) — французский математик и философ, создатель аналитической геометрии, ввел понятие переменной величины, изучал зависимости между величинами. . На первый взгляд в его предложении не было ничего особенного — он просто предложил зафиксировать один отрезок e и назвать его единичным. Но это позволило рассматривать произведение двух отрезков a и b не как площадь прямоугольника с соответствующими сторонами, а как длину такого отрезка c, что a:e = c:b (заметим, что теория пропорций была тщательно разработана еще древнегреческими учеными). А квадратный корень из а получил истолкование как среднее геометрическое отрезков a и e. После Декарта математики могли свободно пользоваться любыми алгебраическими выражениями, не задумываясь над их геометрическим смыслом. С работ Декарта начался длившийся более двухсот лет процесс "арифметизации" математики, ее переноса с геометрического фундамента на арифметический.

В конце концов было получено свободное от геометрии определение действительных чисел. Это сделали в 70-х годах XIX в. Кантор, Вейерштрасс [54] Вейерштрасс Карл (1815-1897) — немецкий математик, один из создателей теории функций комплексного переменного. Построил арифметическую теорию действительных чисел и на ее основе перестроил изложение математического анализа. , Дедекинд и Мэре [55] Мерэ Шарль (1835-1911) — французский математик, построил арифметическую теорию действительных чисел одновременно с Вейерштрассом. . Они определили действительные числа, опираясь лишь на понятие натурального числа. Поскольку со времен Декарта математики умели задавать геометрические объекты наборами действительных чисел (например, точки — их координатами), появилась возможность "арифметизировать" и геометрию. Так возникло новое единство математики, построенной на арифметическом фундаменте. Ученые этой эпохи полагали, что им удалось свести непрерывное к дискретному.

Не случайно одним из создателей арифметического построения действительных чисел был создатель теории множеств Кантор, другим — его учитель и вдохновитель Вейерштрасс, а третьим — Дедекинд, который в своих работах очень близко подошел к идеям теории множеств. Хотя конструкции в предложенных определениях отличались друг от друга, в любой из них действительное число определялось как некоторое бесконечное множество рациональных чисел. Например, в теории Вейерштрасса действительные числа определялись как бесконечные десятичные дроби. Но чтобы задать такую дробь, надо указать десять подмножеств натурального ряда чисел: для каждой цифры — множество номеров мест, на которых она написана. А в теории Дедекинда действительное число а прямо определялось с помощью разбиения всего множества рациональных чисел на два подмножества — одно из них содержит числа, не превосходящие числа α, а второе — большие, чем α.

Одновременно с этим в работах Г. Фреге [56] Фреге Готлоб (1848-1925) — немецкий математик и логик. была сделана попытка построить на основе понятия множества саму арифметику натуральных чисел. Тем самым теория бесконечных множеств становилась общей основой как арифметики, так и геометрии, как дискретного, так и непрерывного. Получалось, что сначала надо изучить бесконечные множества, а потом выделить в их теории небольшой уголок, где скромно ютились бы конечные множества, и уже тогда получать натуральные числа. Как сказал Гильберт [57] Гильберт Давид (1862-1943) — крупнейший немецкий математик XX в. Автор замечательных работ в области теории инвариантов, теории алгебраических чисел, вариационного исчисления, оснований математики, функционального анализа. Ввел понятие бесконечномерного пространства. , "благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего полного триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха".

Однако не все ученые безоговорочно принимали новую точку зрения на математику. Вначале открытия Кантора натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Оппозицию новым воззрениям возглавил один из виднейших алгебраистов тех лет Л. Кронэкер [58] Кронекер Леопольд (1823-1891) — немецкий математик, работавший в области алгебры и теории чисел. . По его убеждениям, предметом математики могло быть лишь то, что выражалось через натуральные числа за конечное число шагов. Он говорил: "Натуральные числа создал господь бог, а все остальное — дело человеческих рук". Поэтому отвергалась не только теория бесконечных множеств, считавшаяся вообще чем-то сумасбродным, по и новомодная теория действительных чисел.

Сдержанность, с которой многие математики приняли работы Кантора, объяснялась отчасти тем, что сама идея рассматривать бесконечность как нечто завершенное противоречила установившимся взглядам, и потому многие ученые считали исследования в области бесконечных множеств чем-то далеким от насущных задач науки. Большую роль в этом неприятии сыграл стиль работ Кантора, представлявший собой смесь математических исследований с философско-теологическими отступлениями. Трансфинитные числа настораживали тем, что с их помощью нельзя было ни вычислить какой-нибудь головоломный интеграл, ни просуммировать сложный ряд, ни решить дифференциальное уравнение. Успехи же Кантора в области конкретной математики (например, доказательство существования трансцендентных чисел) не казались слишком впечатляющими.