Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Возможно, Ферма намеренно скрывал свои доказательства. Судя по всему, он любил пошутить и ему нравилось помучить собратьев-математиков, представляя им свои изыскания в виде загадок. Его замечание на полях не единственное, в котором объявлялся некий важный результат, а затем следовали извинения за отсутствие доказательств. Декарт считал Ферма фанфароном, а Валлис называл его не иначе как «этот проклятый француз». Как бы то ни было, его тактика – если так и было задумано – работала. После смерти Ферма – да и при его жизни тоже – великие математики считали своим долгом довести до ума и отшлифовать какую-нибудь из головоломок, которые Ферма оставил потомкам. Эйлер, к примеру, объявил, что нашел доказательство теоремы для третьих степеней (сумма двух кубов не может быть кубом) в 1753 г. в письме к своему другу Христиану Гольдбаху. Сегодня мы понимаем, что в его доказательстве имелся пробел, но заполнить его было относительно несложно, так что первое опубликованное доказательство этого случая обычно признают за Эйлером. Адриан-Мари Лежандр доказал Великую теорему для пятых степеней в 1825 г., а Петер Дирихле доказал ее для 14-х степеней в 1832 г. и попытался – неудачно – доказать для седьмых; этот результат, вероятно, можно было бы спасти, если бы автор нацелился на что-нибудь попроще. Габриель Ламе разобрался с седьмыми степенями в 1839 г., а в 1847 г. изложил основные идеи общего доказательства в Парижской академии наук. В его доказательстве был задействован аналог разложения на простые множители для особого типа комплексных чисел.

Сразу же после его выступления встал Жозеф Лиувиль, который указал на возможную ошибку в методе Ламе. Для обычных чисел разложение на простые множители всегда единственно : если оставить в стороне порядок записи множителей, то сделать это можно только одним способом. К примеру, число 60 раскладывается на простые множители как 2 2× 3 × 5, и существенно этот набор изменить нельзя. Лиувиль опасался, что для предложенного Ламе класса комплексных чисел факторизация может оказаться не единственной. Со временем его опасения оправдались: впервые это свойство нарушается для 23-х степеней.

Эрнст Куммер сумел спасти эту идею, добавив в смесь новые ингредиенты, которые он назвал «идеальными числами». Эти штуки ведут себя как числа, но числами при этом не являются. При помощи идеальных чисел он доказал Великую теорему Ферма для многих степеней, включая все простые степени до 100, за исключением 37, 59 и 67. К 1993 г. было известно, что Великая теорема Ферма верна для всех степеней вплоть до 4 млн, но это все более отчаянное карабканье вверх не проливало никакого света на общий случай. Новые идеи начали появляться в 1955 г. в связи с работами Ютаки Таниямы, который занимался исследованиями в другой области теории чисел, никак на первый взгляд не связанной с нашей темой, – в области эллиптических кривых. (Название обманчиво, и эллипс тут ни при чем. Эллиптическая кривая – особый тип диофантова уравнения.) Танияма предположил очень интересную связь между этими кривыми и комплексным анализом – теорию модулярных функций. На протяжении многих лет почти никто не верил в его правоту, но постепенно накопилось достаточно свидетельств того, что гипотеза, получившая известность как гипотеза Симуры – Таниямы – Вейля, может оказаться верной.

В 1975 г. Ив Эллегуар обратил внимание на связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми и предположил, что любой контрпример к этой теореме означал бы существование эллиптической кривой с очень странными свойствами. В двух статьях, опубликованных в 1982 и 1986 гг., Герхард Фрей показал, что эта кривая должна быть настолько странной, что существовать не может в принципе. Из этого утверждения непосредственно следовала бы (от противного) Великая теорема Ферма, если бы Фрей не использовал в своем доказательстве гипотезу Симуры – Таниямы – Вейля, которая сама пока оставалась недоказанной. Однако все эти события убедили многих специалистов по теории чисел в том, что Эллегуар и Фрей стоят на верном пути. Жан-Пьер Серр предсказал, что Великая теорема Ферма будет доказана именно этим способом примерно за десятилетие до того, как это произошло в действительности.

Итоговый шаг сделал Эндрю Уайлс в 1993 г., объявив, что ему удалось доказать особый случай гипотезы Симуры – Таниямы – Вейля, достаточно сильный, чтобы завершить доказательство Великой теоремы Ферма. К несчастью, вскоре в его доказательстве выявился логический пробел, что часто служит прелюдией к полному коллапсу. Уайлсу повезло. Воспользовавшись помощью своего бывшего студента Ричарда Тейлора, он сумел в 1995 г. заполнить этот пробел. Доказательство стало полным.

До сих пор спорят, было ли у Ферма доказательство этой теоремы. Как я уже сказал, косвенные свидетельства уверенно говорят, что не было, поскольку в противном случае он наверняка предложил бы другим математикам найти его. Скорее всего, записывая это утверждение на полях книги, он считал, что имеет доказательство, но позже переменил свое мнение. В том маловероятном случае, если доказательство у него действительно было, оно не могло иметь ничего общего с доказательством Уайлса. Во времена Ферма попросту не было ни необходимых концепций, ни столь же необходимых абстрактных представлений. Это как ждать от Ньютона изобретения ядерного оружия. Тем не менее нельзя исключить, что Ферма нашел все же некий подход, который больше никто не заметил. Такие вещи случаются. Однако никто не сможет отыскать это доказательство, не обладая математическими талантами Пьера де Ферма, а это, поверьте, высокая планка.

В 1696 г. Королевский монетный двор, обеспечивавший чеканку английских денег, обрел нового директора, Исаака Ньютона. На эту должность его назначил Чарльз Монтегю, эрл Галифакса, бывший в то время канцлером казначейства – по существу, министром финансов. Ньютон должен был возглавить перечеканку всей монеты в королевстве. В то время британская денежная система была в отвратительном состоянии. По оценке Ньютона, около 20 % монет, находившихся в обращении, были либо поддельными, либо обрезанными (то есть по краям у них были срезаны кусочки золота или серебра, которые после переплавки продавались). В принципе, и подделка монет, и их обрезка считались актами государственной измены и по закону наказывались мучительной казнью, когда преступника сначала вешали, а затем, не дав ему умереть, вынимали из петли и четвертовали. На практике судили, а тем более наказывали за эти преступления чрезвычайно редко.