Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

К 1873 г. Кантор углубился в исследования, результаты которых показали его как значительную фигуру в области теории множеств и трансфинитных (его собственный термин для бесконечных) чисел. Теория множеств с тех пор стала существенной частью любого математического курса, поскольку предоставляет удобный и гибкий язык для описания предмета. Если не углубляться в формальности, множество – это любой набор объектов: числа, треугольники, Римановы поверхности, перестановки и вообще что угодно. Множества можно комбинировать разными способами. К примеру, объединение двух множеств – это то, что получится, если соединить эти два множества в одно, а их пересечение – все то, что они имеют общего. Используя множества, мы можем определить такие базовые концепции, как функции и отношения. Мы можем построить такие системы чисел, как целые, рациональные, действительные и комплексные числа, из более простых составляющих, если привлечем к делу пустое множество, которое вообще не имеет элементов.

Трансфинитные числа – это способ расширить понятие «сколько элементов» на бесконечные множества. Кантор натолкнулся на эту идею в 1873 г., когда доказал, что рациональные числа счетны; то есть их можно поставить в однозначное соответствие с натуральными числами 1, 2, 3,… (Я объясню стоящие за этим идеи и терминологию чуть позже.) Если бы на свете существовал только один размер бесконечности, этот результат был бы очевиден, но он вскоре обнаружил доказательство того, что действительные числа несчетны . Об этом он опубликовал статью в 1874 г. – год, очень важный для Кантора в личном плане, поскольку именно тогда он женился на Вали Гутман; в этом браке у них родилось шестеро детей.

В поисках бесконечности еще большей, чем бесконечность действительных чисел, Кантор подумал о множестве всех точек в единичном квадрате. Ведь должен же квадрат с его двумя измерениями иметь больше точек, чем действительная прямая? Кантор высказал свое мнение в письме к Дедекинду:

Можно ли поверхность (скажем, квадрат, включающий его границы) однозначно соотнести с линией (скажем, отрезком прямой, включающим граничные точки) так, чтобы каждой точке на поверхности соответствовала точка на линии, и наоборот, каждой точке на линии соответствовала точка на поверхности? Я думаю, что ответить на этот вопрос было бы непростой задачей, несмотря на то что ответ представляется настолько очевидным «нет», что доказательство кажется почти ненужным.

Вскоре, однако, он обнаружил, что ответ вовсе не так очевиден, как ему казалось. («Доказательство кажется ненужным» для математика – как красная тряпка для быка, и он должен был бы понимать, чем это чревато.) В 1877 г. Кантор доказал, что на самом деле такое соответствие существует. «Я вижу это и не верю своим глазам!» – писал он. Но, когда он представил статью об этом в престижный «Журнал чистой и прикладной математики» ( Journal für die reine und angewandte Mathematik ), Леопольда Кронекера – блестящего, но ультраконсервативного математика и корифея того времени – его доводы не убедили, и лишь благодаря вмешательству Дедекинда статья была принята и опубликована. Кантор, в какой-то мере оправданно, никогда больше не подавал статьи в этот журнал. Вместо этого в период между 1879 и 1884 гг. он, вероятно под влиянием Феликса Клейна, отправлял основную массу своих работ по теории множеств и трансфинитным числам в журнал «Математические анналы» (Mathematische Annalen ).

Прежде чем продолжить рассказ о Канторе, нам необходимо понять революционную природу его идей, а также разобраться, в первом приближении, что они собой представляют. Боюсь, что, изложив их в терминологии того времени, я только запутал бы вас, поэтому воспользуюсь послезнанием и перескажу несколько основных его идей современным языком.

В трактате «Беседы, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилей поднял фундаментальный вопрос – несколько парадоксально – о бесконечности. Книга написана в форме беседы между Сальвиати, Симплицио и Сагредо. Сальвиати всегда побеждает в споре, Симплицио не имеет никаких шансов на победу, а задача Сагредо – поддерживать беседу. Сальвиати замечает, что можно соотнести счетные (натуральные) числа с квадратами так, чтобы каждое число соответствовало единственному квадрату, а каждый квадрат – единственному числу. Для этого достаточно поставить в соответствие каждому числу его квадрат:

В случае конечных чисел если два множества объектов могут быть соотнесены между собой таким образом, то в каждом из них должно содержаться одно и то же число элементов. Если у каждого из сидящих за столом есть свои нож и вилка, причем только один нож и одна вилка, то число вилок равно числу ножей и то и другое равно числу людей за столом. Таким образом, несмотря на то, что квадраты разделены значительными расстояниями и образуют довольно «разреженное» подмножество всех чисел, представляется, что квадратов существует ровно столько же, сколько и чисел. Сальвиати заключает: «Мы можем сделать вывод, что совокупность всех чисел бесконечна и атрибуты “равно”, “больше” и “меньше” не применимы к бесконечным, но только к конечным величинам».

Кантор понял, что на самом деле ситуация здесь не настолько печальна. Он использовал такого рода сопоставление (которое он называл взаимно однозначным соответствием), чтобы определить характеристику «равное число элементов» для множеств, будь они конечными или бесконечными. Это можно сделать – что само по себе достаточно интересно, – даже не зная, сколько в этих множествах на самом деле элементов. Мы сами только что проделали это с ножами и вилками. Так что с логической точки зрения «равное число элементов» предшествует просто «числу элементов». В этом нет ничего удивительного: так, мы можем увидеть, что два человека одинаковы по росту, даже если не знаем, какого они конкретно роста.

Чтобы ввести конкретные числа, достаточно выделить некое стандартное множество и сказать, что любое другое множество, элементы которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с элементами стандартного множества, имеют с ним одинаковую мощность. Очевидный выбор стандартного образца для бесконечного множества – множество натуральных чисел, определяющее трансфинитное кардинальное множество, мощность которого Кантор назвал «алеф-нуль». Здесь алеф – первая буква еврейского алфавита, а нуль – это нуль. В символьном виде это можно записать как ℵ 0. По определению, любое множество, взаимно однозначно соответствующее множеству натуральных чисел, имеет мощность ℵ 0. Сальвиати доказал, что множество квадратов тоже имеет мощность ℵ 0.