Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер.

Кантор, можно сказать, подставился в философском плане, когда недвусмысленно заявил, что теория множеств имеет дело с актуальной бесконечностью, а не с потенциальной бесконечностью Аристотеля. Это некоторое преувеличение, поскольку актуальна эта бесконечность только в концептуальном смысле. В математике, как правило, можно перейти от описания, в котором речь идет, казалось бы, об актуальной бесконечности, к другому описанию, в котором бесконечность уже выглядит чисто потенциальной. Однако переход этот часто кажется надуманным: Кантор был прав, когда говорил, что естественный способ думать о его работе – это рассматривать бесконечность как единое целое, а не как процесс, который хотя и конечен на любом этапе, может продолжаться бесконечно. Непримиримым противником такой позиции был философ Людвиг Витгенштейн. Особенно резко он высказывался о диагональном методе и даже после смерти Кантора продолжал жаловаться на «пагубные подходы теории множеств». Но основная причина, по которой он продолжал громогласно жаловаться, состояла в том, что математики все больше и больше вставали на сторону Кантора и никто из них не обращал внимания на Витгенштейна. Это, наверно, было особенно обидно, потому что самого Витгенштейна очень интересовала философия математики, но, с другой стороны, математики не слишком любят философов, которые упорно твердят, что они, математики, все делают неправильно. Теория множеств работала , а математики в большинстве своем весьма прагматичны, даже в фундаментальных вопросах.

Кантор был религиозен и стремился примирить математику со своей верой. Природа бесконечного в те времена все еще была очень прочно увязана с религией, поскольку христианский Бог считался бесконечным и утверждалось, что Он есть единственная и неповторимая реальная бесконечность. Замечание Кронекера о целых числах вовсе не было метафорой. И тут появляется Кантор и заявляет, что в математике тоже есть актуальные бесконечности… Ну вы можете представить себе, что после этого должно было произойти. Однако Кантор дал достойный ответ, заявив: «Трансфинитная разновидность ровно в той же мере соответствует намерениям Создателя… как и конечные числа». Это был умный довод, поскольку отрицать его означало бы утверждать, что Бог имеет какие-то ограничения, что уже смахивало на ересь. Кантор даже написал об этом папе Льву XIII и направил ему несколько математических статей. Бог знает, что папа об этом подумал.

Математики понимали, что делает Кантор. Гильберт признавал значимость его работы и хвалил ее. Но с возрастом Кантор почувствовал, что теория множеств не произвела того эффекта, на который он надеялся. В 1899 г. у него случился приступ депрессии. Он вскоре оправился, но потерял веру в себя. Он написал Йосте Миттаг-Леффлеру: «Не знаю, когда я вернусь к продолжению научной работы. В настоящее время я абсолютно ничего не могу с ней делать». Пытаясь бороться с депрессией, он отправился на отдых в горы Гарц и попытался примириться со своим академическим противником Кронекером. Кронекер отреагировал на это положительно, но отношения между ними так и остались натянутыми.

Математика держала Кантора в напряжении: он страдал, что не может доказать свою континуум-гипотезу. В какой-то момент он думал, что сумел ее опровергнуть, но быстро нашел ошибку в рассуждениях; затем ему показалось, что он сумел-таки доказать ее, но и в этом доказательстве обнаружилась ошибка. В этот момент Миттаг-Леффлер попросил Кантора отозвать статью из журнала Acta Mathematica , хотя дело уже дошло до верстки, – и не потому, что статья была неверна, а потому, что она «опередила время лет на сто». Кантор отреагировал на это с юмором, но внутренне был очень обижен. Он перестал писать Миттаг-Леффлеру, перестал интересоваться его журналом – и вообще практически оставил теорию множеств.

Его депрессия проявлялась, как правило, двояким образом. С одной стороны, он начинал усиленно интересоваться философскими следствиями из теории множеств. Другим ее проявлением была убежденность Кантора в том, что все работы Шекспира на самом деле были написаны Фрэнсисом Бэконом. Эта навязчивая идея заставила его серьезно изучить литературу Елизаветинского времени, и к 1896 г. он начал публиковать брошюры о своей любимой теории. Затем за короткий промежуток времени умерли мать Кантора, его младший брат и младший сын. В нем все сильнее проявлялись признаки душевного расстройства, и в 1911 г., когда Университет Св. Андрея в Шотландии пригласил Кантора в качестве почетного гостя на празднование 500-летия университета, он большую часть времени посвятил рассуждениям о Бэконе и Шекспире. Депрессия стала его постоянным спутником. Некоторое время в связи с этим он провел в лечебнице, и в 1918 г. умер в санатории от сердечного приступа.

Ирония судьбы заключается в том, что Миттаг-Леффлер был, по существу, прав, когда говорил Кантору, что тот на столетие опередил свое время, хотя, возможно, прав не в том смысле, который сам имел в виду. Несмотря на то что идеи Кантора постепенно завоевывали признание, самого значительного влияния теории множеств на математику пришлось ждать до 1950-х или 1960-х гг., когда наблюдался расцвет абстрактного подхода к математике, продвигавшегося группой ученых, называвших себя Никола Бурбаки. Влияние Бурбаки на математическое образование с тех пор (к счастью) спало, но убеждение входивших в группу математиков в том, что математические понятия должны определяться точно и как можно более обобщенно, держится до сих пор. А базисом для точности и общности является позиция, которую обеспечивают любимые множества Георга Кантора. Сегодня любая область математики, хоть теоретической, хоть прикладной, прочно опирается на формальные положения теории множеств. Не только философски, но и практически. Без языка множеств математики сегодня не смогли бы даже обозначить, о чем, собственно, идет речь.

Так что вот приговор потомков: да, к теории множеств и трансфинитным числам действительно есть философские вопросы, но они ничем не лучше и не хуже аналогичных философских вопросов к целым числам, которые так любил Кронекер. Они тоже дело рук человеческих, а дело рук человеческих редко бывает лишено недостатков. По иронии судьбы мы сегодня определяем целые числа при помощи… теории множеств. И рассматриваем Кантора как одного из истинных чудаков и оригиналов математики. Если бы он не придумал теорию множеств, со временем это сделал бы кто-то другой, но прошел бы, вполне возможно, не один десяток лет, прежде чем нашелся бы еще один человек с таким же редким сочетанием мощи, глубины и интуиции.