Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Это утверждение кажется парадоксальным – ведь существуют, очевидно, и числа, не являющиеся квадратами; мало того, «большинство» чисел не является квадратами. Мы можем разрешить этот парадокс, условившись о том, что удаление некоторого числа элементов из бесконечного множества не уменьшает его мощности. Там, где речь идет о мощности множеств, целое не обязано быть больше своей части. Однако нам нет нужды следовать за Сальвиати и отвергать саму идею сравнения: мы получим разумные результаты, если будем считать, что целое больше или равно части. В конце концов, весь смысл бесконечности как понятия состоит в том, что она не всегда ведет себя как конечные числа. Главный вопрос здесь – как далеко мы можем зайти и какие проблемы сможем решить.

Следующим крупным открытием Кантора стало то, что множество рациональных чисел (для простоты ограничимся только положительными) тоже имеет мощность ℵ 0. Их можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами так:

Чтобы получить верхнюю строку, мы упорядочиваем рациональные числа не в числовой последовательности, а иначе. Определим сложность рационального числа как сумму его числителя и знаменателя. Будем рассматривать только те рациональные числа, у которых числитель и знаменатель не имеют общих множителей, чтобы не включить одно и то же число дважды. К примеру, 2/3 и 4/6 – это одно и то же рациональное число; возьмем из них только первое. Для начала разделим рациональные числа на классы в порядке возрастания сложности. Каждый такой класс конечен. Затем упорядочим, в пределах каждого класса, дроби по возрастанию числителя. Таким образом, класс сложности 5 упорядочится так:

1/4 2/3 3/2 4/1.

Легко доказать, что любое положительное рациональное число будет включено в один из классов один, и только один раз. Натуральным числом, которое будет поставлено ему в соответствие, станет номер этого числа в окончательном упорядоченном списке.

До настоящего момента нам могло казаться, что ℵ 0 – это всего лишь хитроумный символ для обозначения бесконечности и что все бесконечности одинаковы. Однако следующее открытие взрывает такое предположение. Множество действительных чисел невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.

Первое доказательство Кантора 1874 г. было нацелено на одну из проблем теории чисел – существование трансцендентных чисел. Алгебраическое число – это число, удовлетворяющее некоторому полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами; к примеру, это число являющееся решением уравнения x 2–2 = 0. Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. К примеру, не известно было никакого подобного уравнения, которому удовлетворяли бы числа e и π, и предполагалось, что они трансцендентны; эта гипотеза оказалась верной. Лиувиль доказал существование трансцендентного числа в 1844 г., но пример, который он при этом использовал, был совершенно искусственным. Кантор доказал, что «большинство» действительных чисел трансцендентны; для этого он показал, что множество алгебраических чисел имеет мощность ℵ 0, но мощность множества действительных чисел больше, чем ℵ 0. В его доказательстве принимается допущение о том, что множество действительных чисел счетно и возможно построение последовательности вложенных интервалов, исключающих каждое действительное число по очереди. Пересечение этих интервалов (можно доказать, что оно не пустое) должно содержать некоторое действительное число, но, каким бы это число ни было, мы его уже исключили.

В 1891 г. он нашел более простое доказательство – знаменитый диагональный метод. Предположим (чтобы затем прийти к противоречию), что действительные числа (для простоты – между 0 и 1) счетны. Тогда можно поставить им во взаимнооднозначное соответствие счетные, то есть натуральные, числа. В десятичной нотации любое соответствие такого рода принимает вид

1 0, a 1 a 2 a 3 a 4…

2 0, b 1 b 2 b 3 b 4…

3 0, c 1 c 2 c 3 c 4…

4 0, d 1 d 2 d 3 d 4…

… …

Согласно нашему предположению, любое действительное число найдется где-то в этом списке. А теперь мы построим такое число, которого в этом списке нет. Определим последовательные десятичные знаки, x 1, x 2, x 3… действительного числа x следующим образом:

Если a 1= 0, пусть x 1= 1, в противном случае пусть x 1= 0.

Если b 2= 0, пусть x 2= 1, в противном случае пусть x 2= 0.

Если c 3= 0, пусть x 3= 1, в противном случае пусть x 3= 0.

Если d 4= 0, пусть x 4= 1, в противном случае пусть x 4= 0.

Будем продолжать этот процесс до бесконечности, приравнивая x n либо к 0, либо к 1, так что x n всегда отличается от n -го десятичного знака действительного числа, соответствующего n .

По построению x отличается от любого числа в нашем списке. От первого числа оно отличается в первом знаке, от второго – во втором; в общем, это число отличается от n -го числа в n -м десятичном знаке, а значит, отличается от n -го числа, каким бы оно ни было. Однако мы предполагали, что список существует и что любое действительное число в нем имеется. Это противоречие; получается, что такого списка не существует, следовательно, множество действительных чисел несчетно.

Аналогично строится и другое открытие Кантора, в которое он сам поверил с трудом: что плоскость имеет ту же мощность, что и действительная прямая. Точка на плоскости имеет координаты ( x, y ), где x и y – действительные числа. Ограничимся, для простоты, единичным квадратом; тогда x и y в десятичной записи выглядят так:

x = 0, x 1 x 2 x 3 x 4…

y = 0, y 1 y 2 y 3 y 4…

Поставим этой паре в соответствие точку на прямой, в координатах которой десятичные знаки x и y стоят попеременно, вот так:

0, x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3…

Поскольку мы можем, глядя на это число, восстановить x и y , отобрав только последовательные цифры на четных или нечетных позициях, такой метод позволяет нам получить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и единичным отрезком действительной прямой. Несложно расширить этот вывод на всю плоскость и всю числовую прямую. (Необходимо позаботиться о некоторых формальностях, которые я опустил, чтобы разобраться с неоднозначностью десятичного представления числа.)

Был один вопрос, который Кантор никак не мог разрешить ни так, ни этак. Существует ли трансфинитное множество, мощность которого лежала бы строго между ℵ 0и мощностью множества действительных чисел? Кантор считал, что нет; он не смог отыскать такое множество, хотя пробовал на эту роль немало правдоподобных кандидатов. Это предположение получило известность как гипотеза о континууме, или континуум-гипотеза. За дальнейшим ее развитием мы проследим в главе 22.