Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Когда Мандельброт был подростком, дядя Шолем взялся за его образование. Бенуа поступил в парижский лицей Ролан. Но оккупированная Франция представляла собой не слишком удачное место (и время) жительства для еврея, и детство Бенуа было отмечено бедностью и постоянной угрозой насилия и смерти. В 1940 г. семья вновь бежала, на этот раз в крохотный городок Тюль на юге Франции, где у его дяди был загородный дом. Затем нацисты оккупировали и южную Францию, и следующие полтора года Мандельброт провел в бегах. Он описывал этот период своей жизни следующим невыразительным образом:

Несколько месяцев я провел в Перигее учеником слесаря-инструментальщика на железной дороге. Для позднейшей мирной жизни этот опыт оказался полезнее, чем период работы конюхом в то же военное время, но я внешне не походил ни на ученика слесаря, ни на конюха да и разговаривал иначе и однажды едва избежал казни или высылки. Со временем друзья устроили так, что меня приняли в лицей дю Пар в Лионе. Хотя в значительной части мира царил хаос, в лицее дела выглядели почти нормально: класс готовился к наводящему ужас экзамену, принятому в элитных французских университетах и известному как Grandes Écoles. Несколько следующих месяцев в Лионе относятся к важнейшим периодам моей жизни. Абсолютная нищета и глубокий страх перед немецким властителем города (позже мы выяснили, что звали его Клаус Барби) заставляли меня большую часть времени проводить за письменным столом [29] Benoit Mandelbrot. A Maverick’s Apprenticeship, The Wolf Prizes for Physics, Imperial College Press 2002. .

Барби был гауптштурмфюрером СС, вызывавших ужас, и членом небезызвестного гестапо (тайной полиции). Его прозвали «лионским мясником» за то, что он лично пытал французских пленных. После войны Барби бежал в Боливию, но в 1983 г. был выдан во Францию и посажен в тюрьму за преступления против человечности.

В 1944 г. в Лионе Мандельброт, изучая математику, обнаружил, что обладает высококлассной зрительной интуицией. Когда преподаватель ставил перед студентами какую-нибудь сложную задачу в символьной форме – к примеру, давал уравнение, – Мандельброт сразу же преобразовывал его в геометрическую форму, которая помогала найти более простое решение. Его приняли в Высшую нормальную школу в Париже, где он должен был изучать математику. Однако принятый там математический стиль был очень близок тому, чем занималась школа Бурбаки, – этот абстрактный и обобщенный стиль был сосредоточен на теоретической математике. Его дядя придерживался аналогичной математической философии и даже входил поначалу в группу Бурбаки – до того как она начала систематический пересмотр математики по строгим абстрактным канонам. Такой формальный стиль математического мышления, без картинок и конкретных приложений, не привлекал Мандельброта. После нескольких дней в Нормальной школе он решил, что попал не туда, и ушел. Вместо этого он поступил в более практически ориентированную Политехническую школу (вступительные экзамены туда он уже сдал, параллельно с экзаменами в Нормальную школу). Здесь у него было гораздо больше свободы для изучения различных дисциплин.

Дядя продолжал подталкивать Бенуа к более абстрактной математике; он предложил ему выбрать для диссертации на докторскую степень тему, связанную с опубликованной в 1917 г. работой Гастона Жюлиа по комплексным функциям. Это предложение Бенуа не понравилось. Позже, принимая премию Вольфа, Мандельброт писал:

Обожаемые моим дядей ряды Тейлора и Фурье появились несколько столетий назад в контексте физики, но в XX в. превратились в область, которую ее приверженцы описывали как «тонкий» или «строгий» математический анализ. В теоремах моего дяди одни допущения могли занимать несколько страниц. Различия, которые ему нравились, были настолько неуловимыми, что никакое условие не могло быть одновременно необходимым и достаточным. Длинные родословные рассматриваемых вопросов, служившие для него источником гордости, меня отталкивали в молодости [30] Benoit Mandelbrot. A Maverick’s Apprenticeship, The Wolf Prizes for Physics, Imperial College Press 2002. .

Однажды Мандельброт, все еще искавший тему, попросил у Шолема что-нибудь, что можно почитать в метро. Дядя вспомнил какую-то статью, только что выброшенную в мусорную корзинку, и выудил ее оттуда, сказав: «Это безумие, но ты любишь безумные штучки». Статья представляла собой обзор книги лингвиста Георга Ципфа о некотором статистическом свойстве, общем для всех языков. Никто, кажется, не понимал, о чем она, но Мандельброт мгновенно решил, что должен объяснить это свойство, которое сегодня называется законом Ципфа. И кое-что ему действительно удалось сделать, как мы скоро увидим.

С 1945 по 1947 г. Мандельброт учился под руководством Поля Леви и Гастона Жюлиа в Политехнической школе, а затем поехал в Калифорнийский технологический институт и получил магистерскую степень по аэронавтике. После этого он вернулся во Францию и в 1952 г. получил докторскую степень. Кроме того, Мандельброт работал в Национальном центре научных исследований. Он провел год в Институте высших исследований в Принстоне (штат Нью-Джерси) под эгидой Джона фон Неймана. В 1955 г. Мандельброт женился на Альетте Каган и переехал в Женеву. После нескольких посещений США в 1958 г. Мандельброты переехали туда на постоянное жительство, и Бенуа стал работать исследователем в IBM в Йорктаун-Хайтс. Он работал в этой компании 35 лет, став сначала членом, а потом и почетным членом IBM. Мандельброт получил множество наград, включая орден Почетного легиона (1989 г.), премию Вольфа (1993 г.) и премию Японии (2003 г.). Среди его книг – «Фракталы: Форма, случай и измерение» (Fractals: Form, Chance, and Dimension, 1977) и «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature, 1982).

Бенуа Мандельброт умер от рака в 2010 г.

Работа над законом Ципфа стала образцом для всей дальнейшей деятельности Мандельброта, которая долгое время казалась серией никак на первый взгляд не связанных между собой исследований странных статистических закономерностей; казалось, он порхал, как бабочка, перелетая с одного фантастического цветка на другой. И только когда он попал в IBM, все это начало сливаться воедино и обретать смысл.

Закон Ципфа привел его к простой, но полезной (и недооцененной) идее в статистике – идее степенной зависимости. В американском английском тремя самыми употребляемыми словами являются:

the – на него приходится 7 % от общего числа слов;

of – 3,5 % от общего числа;

and – 2,8 % от общего числа.

Закон Ципфа гласит, что частота употребления n -го слова (в ряду, упорядоченном по частоте употребления) равна частоте первого слова в этом ряду, деленной на n . Здесь 7/2 = 3,5 и 7/3 = 2,3. Последнее значение ниже наблюдаемого, но это нестрогий закон, он всего лишь позволяет количественно оценить общую тенденцию. Здесь частота n -го слова в рейтинге пропорциональна 1/ n , что можно записать как n –1. Другие примеры демонстрируют аналогичные закономерности, но со степенью, не равной –1. К примеру, в 1913 г. Феликс Ауэрбах заметил, что распределение городов по размеру следует аналогичному закону, но со степенью n –1,07. В общем случае, если n -я в рейтинге величина встречается с частотой, пропорциональной n c , для некоторой постоянной c , то мы говорим о законе c -й степени.