Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Мой дядя уехал во Францию в возрасте лет примерно двадцати, этим беглецом двигала идея не политическая и не экономическая, а чисто интеллектуальная. Его отталкивала «польская математика», которую тогда Вацлав Серпинский (1882–1969) строил как воинствующе абстрактную область. По глубокой иронии, чьим работам суждено было стать для меня изобильными охотничьими угодьями, когда много позже я искал инструменты для построения фрактальной геометрии? Серпинского! Убегая от идеологии [Серпинского], мой дядя присоединился к наследникам Пуанкаре, правившим в Париже в 1920-е гг. Мои родители были не идеологическими, но экономическими и политическими беженцами; то, что они поехали к моему дяде в Париж, спасло всем нам жизнь. Я никогда не встречался с Серпинским, но его (невольное) влияние на мою семью невозможно ни с чем сравнить [32] Benoit Mandelbrot. A Maverick’s Apprenticeship, The Wolf Prizes for Physics, Imperial College Press 2002. .

Немногие математики-теоретики, которые интересовались такими понятиями, обнаружили, что степень шероховатости фрактала можно охарактеризовать числом; они назвали это число «размерностью» фрактала, поскольку оно согласуется с обычной размерностью для стандартных геометрических фигур вроде прямой, заполненного квадрата или куба, размерности которых составляют 1, 2 и 3 соответственно. Однако размерность фрактала не обязательно должна выражаться целым числом, так что интерпретация размерности как «числа независимых направлений» уже неприменима. Теперь важно, как фигура ведет себя при увеличении.

Если сделать отрезок прямой вдвое больше, его длина увеличится в 2 раза. Удвоение квадрата увеличит его площадь в 4 раза, а удвоение куба увеличит его объем в 8 раз. Эти числа – 2 1, 2 2и 2 3, то есть 2 в степени, соответствующей размерности фигуры. Если «ковер» увеличить вдвое, его можно разделить на три копии оригинала. Так что 2 в степени, равной размерности фигуры, должно равняться 3. Следовательно, размерность составляет ln 3/ln 2, то есть приблизительно 1,585. Более общее определение, не ограниченное самоподобными фракталами, называется размерностью Хаусдорфа – Бесиковича, а более практичный вариант – размерностью Минковского (рассчитывается путем подсчета клеток на чертеже). Размерность фрактала полезна в приложениях и представляет собой один из способов проверить фрактальную модель экспериментально. Таким образом, к примеру, удалось показать, что облака хорошо моделируются фракталами, причем размерность фотоизображения (с проекцией на плоскость проще работать, на ней проще проводить измерения) составляет примерно 1,35.

Вот еще пример иронии судьбы, который прекрасно иллюстрирует опасность поспешных и категоричных оценок в математике. В 1980 г. Мандельброт, занимаясь поисками новых приложений фрактальной геометрии, вновь взглянул на статью Жюлиа 1917 г. – ту самую, которую в свое время рекомендовал ему дядя и которую он отверг как слишком абстрактную. В ней Жюлиа и еще один математик, Пьер Фату, анализировали странное поведение комплексных функций в итерационном процессе. То есть берем некоторое число, применяем к нему функцию, получаем следующее число, применяем к нему функцию, получаем третье число и так далее, до бесконечности. Авторы сосредоточились на простейшем нетривиальном случае квадратных функций вида f ( z ) = z 2+ c для комплексной постоянной c . Поведение данной схемы зависит от c сложным образом [33] Пусть c = x + iy – комплексное число. Начнем с z 0 = 0 и будем считать методом итераций функцию z 2 + c , получая: z 1 = ( z 0 2 + c ); z 2 = ( z 1 2 + c ); z 3 = ( z 2 2 + c ) и так далее. Тогда c входит во множество Мандельброта в том, и только том случае, если все точки z n лежат в пределах некоторой конечной области комплексной плоскости. То есть множество итераций ограниченно. . Жюлиа и Фату доказали несколько глубоких и трудных теорем о данном конкретном итерационном процессе, но все в символьном виде. Мандельброт же заинтересовался тем, как выглядит эта функция графически.

Расчеты оказались слишком длинными и сложными, чтобы проводить их вручную, вероятно, именно поэтому Жюлиа и Фату в свое время не исследовали геометрию процесса. Но теперь компьютеры уже начинали обретать реальную мощь, к тому же Мандельброт работал не где-нибудь, а в IBM. Так что он написал соответствующую программу для компьютера и распечатал картинку. Она получилась грязной (у принтера заканчивались чернила) и грубой, но принесла удивительное открытие. Сложная динамика Жюлиа и Фату управляется одним-единственным геометрическим объектом, и этот объект – или, точнее, его граница – является фракталом. Размерность границы равна 2, так что этот фрактал «почти заполняющий». Мы сегодня называем его множеством Мандельброта – это название предложил Адриан Дуади. Как всегда, выяснилось, что открывали его (или проходили совсем рядом) не раз; в частности, Роберт Брукс и Питер Мателски нарисовали это же множество в 1978 г. Множество Мандельброта дает сложный и красивый компьютерный рисунок и одновременно является объектом интенсивных математических исследований, принесших их авторам по крайней мере две Филдсовские медали.

Так что та самая абстрактная статья, посвященная теоретической математике, которую Мандельброт первоначально отверг, содержала, как оказалось, идею, ставшую центральной для теории фракталов – а ведь Мандельброт увлекся этой темой именно потому, что она была далека от абстракции и тесно связана с природой. Математика едина, в ней все переплетено, а абстрактное и конкретное тесно связано тонкими нитями логики. Ни одна из этих философий не может взять верх, а крупнейшие прорывы часто являются результатом использования того и другого одновременно.

Математики ничто так не любят, как поговорить с другими математиками: об их работе, в надежде уловить какую-нибудь новую идею, которая поможет разобраться с собственной текущей задачей; о новом тайском ресторанчике, который открылся на краю кампуса; о семье и общих друзьях. Как правило, они делают это, сидя небольшими группами за столиками и попивая кофе. Как однажды сказал Альфред Реньи, «математик – это машина по переработке кофе в теоремы». У него получился каламбур, поскольку слово Satz по-немецки означает и «теорема», и «(кофейная) гуща».

Такие неформальные дискуссии часто возникают и в более формальном контексте – на семинарах (это формальные лекции для специалистов), коллоквиумах (менее формальные лекции, предназначенные официально для профессионалов или студентов, в том числе работающих в других областях, хотя иногда различить их нелегко), мастерских (небольших специализированных конференциях), «песочницах» (они еще меньше и еще менее формальны) или конференциях (крупных и, возможно, более широких по охвату мероприятиях). В декабре 1971 г. Университет Калифорнии в Беркли принимал у себя семинар по динамическим системам. Системы эти тогда привлекли горячий интерес, поскольку Стивен Смейл и Владимир Арнольд с коллегами и студентами в Беркли и Москве продолжили исследования с того места, где их оставил Пуанкаре после открытия хаоса; исследователи разрабатывали новые топологические методы, позволявшие разобраться с нерешаемыми на первый взгляд старыми задачами. Динамическая система – это все, что развивается во времени по конкретным неслучайным правилам. Правилами для непрерывной динамической системы служат дифференциальные уравнения, определяющие состояние системы на крохотное мгновение вперед в зависимости от ее текущего состояния. Существует аналогичное понятие дискретной динамической системы, в которой время тикает дискретными мгновениями, 1, 2, 3, … Докладчик представил новое решение задачи, которое сводилось к тому, чтобы рассматривать лишь конечное число точек на плоскости. Он объяснил ключевой прием: как сдвинуть любое заданное число точек в новое положение, не слишком далекое от исходного, так, чтобы они не разошлись слишком далеко ни на каком этапе движения. (При этом следует выполнить еще кое-какие условия.) Эту теорему несложно было доказать для пространств трех и более измерений, но теперь, как утверждалось, было найдено доказательство для двух измерений, которое до этого искали долго и безуспешно. Из этого следовало множество интересных результатов в динамике.