Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Перельман необычайно талантлив, и то, что казалось очевидным ему, было далеко не очевидным для математиков, которые пытались проверить его доказательство. Справедливости ради заметим, что они размышляли об этой задаче не так, как он, и далеко не так долго, как он, что ставило их в заведомо невыгодное положение. Кроме того, сам Перельман вел затворнический образ жизни; поскольку время шло, а никто не спешил объявить его работу прорывом и эпохальным событием – каким она в действительности и являлась, – он испытывал досаду и разочарование. К тому моменту, когда его доказательство было принято, он полностью оставил математику [34] Сомнительное утверждение. – Прим. ред. . Перельман отказался от приза в миллион долларов, который был ему предложен, несмотря на то что условий конкурса не выполнил – его доказательство не было опубликовано в уважаемом журнале. Он отказался также от Филдсовской медали, которую обычно считают математическим эквивалентом Нобелевской премии, хотя сумма денежного вознаграждения при ней намного меньше. Через некоторое время Институт Клэя организовал на эти деньги краткосрочную стипендию для выдающихся молодых математиков в Институте Анри Пуанкаре в Париже.

Сегодня многие математики пользуются компьютерами не только для переписки по электронной почте и путешествий по сети, даже не только для больших численных вычислений, но как инструментом, который помогает им исследовать различные задачи почти экспериментальным методом. В самом деле, время от времени появляются доказательства, полученные при помощи компьютеров, часто в связи с важными задачами, не поддавшимися пока традиционным методам атаки при помощи ручки, бумаги и человеческого разума. Столь спокойное отношение к компьютерам стало распространенным относительно недавно; дело не в том, что математики все такие ретрограды и сопротивляются внедрению новых технологий, но прежде возможности компьютеров были слишком ограниченными как по скорости, так и по объему памяти. Серьезная математическая задача может оказаться неподъемной даже для самого быстрого суперкомпьютера; в одном недавнем исследовании результат компьютерного расчета, если бы его полностью распечатали, оказался бы размером с Манхэттен.

Возродив трехмерную гиперболическую геометрию, Тёрстон одним из первых воспользовался компьютером на переднем крае геометрии. В конце 1980-х гг. Национальный фонд развития науки выделил средства на новый Центр геометрии в Миннесотском университете, где проводились исследовательские встречи и публичные информационные мероприятия. Кроме того, Центр продвигал использование компьютерной графики, и два его видео получили значительную известность. Они и сейчас доступны в сети, хотя сам Центр прекратил существование. В первом из них [35] https://www.youtube.com/watch?v=zd_HGjH7QZo – «Не узел» (Not Knot) – зритель пролетает рядом с различными трехмерными гиперболическими многообразиями, открытыми Тёрстоном. Сложная и захватывающая графика фильма оказалась настолько психоделической, что группа Greatful Dead использовала ее на своих концертах. Второе видео [36] https://www.youtube.com/watch?v=wO61D9x6lNY – «Наизнанку» (Outside In) – представляет собой анимацию замечательной теоремы, которую еще студентом в 1957 г. открыл Смейл. Речь в ней идет о том, что можно вывернуть сферу наизнанку.

Представьте себе сферу, внешняя сторона которой покрашена в золотистый цвет, а внутренняя – в пурпурный. Конечно, ее можно вывернуть наизнанку, сделав отверстие и протолкнув в него всю сферу, но это не есть топологическое преобразование. Этот фокус невозможно проделать с реальной сферой, такой как воздушный шарик (хотя доказательство этого не полностью очевидно), но математически мы можем разрешить преобразование, при котором сфера проходит сквозь саму себя, что невозможно проделать с шариком. Итак, мы можем попробовать толкать сферу с противоположных сторон, в результате чего через золотистую поверхность проступят два пурпурных пузыря, но при этом посередине между ними останется все сильнее сжимающееся трубчатое золотистое кольцо. Когда это кольцо сожмется в окружность, поверхность перестанет быть гладкой. Теорема Смейла гласит, что этого можно избежать: существует преобразование, такое, что на всех его этапах сфера гладко встроена в пространство, хотя, возможно, и прорезает саму себя. Долгое время эта теорема оставалась всего лишь доказательством существования: никто не знал, как на самом деле это можно сделать. Затем некоторые топологи разработали несколько различных методов; причем один из ученых, Бернар Морен, ослеп в возрасте шести лет. Самый элегантный и симметричный метод принадлежит Тёрстону, и этот метод – настоящая звезда видеосюжета «Наизнанку».

Тёрстон повлиял на восприятие математики обществом и другими способами. Он писал о том, каково на самом деле быть математиком и что он думает об исследовательских задачах; он пытался дать обычным людям возможность увидеть жизнь математика изнутри. Когда дизайнер модной одежды Дай Фудзивара услышал о восьми геометриях, он связался с Тёрстоном, и их общение привело к рождению широкого спектра образцов женской моды.

Вклад Тёрстона во многие области геометрии, от топологии до динамики, обширен. Его деятельность отличалась замечательным свойством визуализировать сложные математические понятия. Когда у него спрашивали доказательство, Тёрстон обычно рисовал картинку. Зачастую его рисунки раскрывали скрытые связи, не замеченные другими исследователями. Еще одной характерной чертой Тёрстона было его отношение к доказательствам: он часто оставлял детали за скобками, поскольку они представлялись ему очевидными. Когда кто-то просил его объяснить непонятое доказательство, он нередко тут же, на месте, придумывал новое и говорил: «Возможно, это вам больше понравится». Для Тёрстона вся математика была единым взаимосвязанным целым, и он знал ее, как другие знают собственный огород.

Тёрстон умер в 2012 г. после операции по удалению меланомы, в результате которой он потерял правый глаз. Во время лечения он продолжал исследования и доказывал новые фундаментальные результаты в дискретной динамике рациональных отображений на комплексной плоскости. Он ездил на математические конференции и старался пробудить в молодых людях интерес к своему любимому предмету. Несмотря ни на какие препятствия, он никогда не сдавался.

Итак, что мы узнали, познакомившись с нашими значимыми фигурами, чьи новаторские идеи открыли для науки новые математические просторы?

Самый очевидный вывод, который можно сделать, – они многообразны. Первопроходцы математики обнаруживаются во всех периодах истории, во всех культурах и слоях общества. Истории, которые я отобрал для вас, перекрывают промежуток протяженностью в 2500 лет. Их герои жили в Греции, Египте, Китае, Персии, Индии, Италии, Франции, Швейцарии, Германии, России, Англии, Ирландии и Америке. Некоторые из них родились в богатых семьях – это Ферма, Кинг, Ковалевская. Многие принадлежали к среднему классу. Некоторые родились в бедности – Гаусс, Рамануджан. Одни происходили из семей ученых – Кардано, Мандельброт. Другие – нет: это опять же Гаусс и Рамануджан, Ньютон, Буль. Кто-то жил в бурные времена – Эйлер, Фурье, Галуа, Ковалевская, Гёдель, Тьюринг. А кому-то повезло жить в более стабильном обществе или, по крайней мере, в более стабильной его части – Мадхава, Ферма, Ньютон, Тёрстон. Одни из них были политически активны – Фурье, Галуа, Ковалевская. Первые двое в результате оказались в тюрьме. Другие держались в стороне от политики – Эйлер, Гаусс.