Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Тенденция к использованию визуальных (и тактильных) образов прослеживается еще в «Алгебре» аль-Хорезми, название которой отсылает к понятию равновесия. Задействованный в ней образ преподаватели нередко используют и сегодня. Две стороны уравнения рассматриваются как набор объектов, помещенных на разные чаши весов, которые необходимо уравновесить. Тогда алгебраические операции производятся одновременно над обеими сторонами, чтобы не нарушать равновесия. В конце концов у нас получается неизвестная величина на одной чаше весов и некое число на другой: это и есть ответ. Математики при решении уравнений часто представляют себе, как движутся символы. (Вот почему они до сих пор любят доску и мел: чтобы обозначить движение, достаточно что-то стереть, а что-то переписать.) В «Алгебре» аль-Хорезми присутствует и более очевидное геометрическое мышление с рисунками, на которых изображается дополнение квадрата при решении квадратного уравнения. По легенде, один математик умудрился прочесть довольно сложную лекцию по алгебраической геометрии, нарисовав на доске одну-единственную одинокую точку, представляющую собой некую «общую точку». Во время лекции он на нее ссылался, отчего содержание лекции стало намного понятнее. Школьные доски по всей планете, не говоря уже о салфетках и иногда скатертях, плотно исписаны заумными символами и изрисованы жутковатыми каракулями. Каракули эти могут представлять все что угодно – от десятимерного многообразия до алгебраического числового поля.

Согласно оценке Адамара, около 90 % математиков думают зрительно, и только 10 % – формально. Я знаю по крайней мере одного видного тополога, который испытывает проблемы с визуализацией трехмерных фигур. Не существует универсального «математического ума» – единого рецепта для всех вы не найдете. Большинство математических умов не движется к цели последовательными логическими шагами; так происходит только в приглаженных доказательствах, которые они публикуют в конечном итоге. Как правило, первым шагом становится рождение верной идеи, часто в результате неопределенных размышлений о главных вопросах, приводящих к своего рода стратегическому ви́дению; следующий шаг – выработка тактики для доказательства этого результата; и наконец, финальный шаг заключается в том, чтобы записать все заново в формальном виде и получить ясную, последовательную и логичную историю (убрать леса, по Гауссу). На практике большинство математиков мечется между двумя способами мышления; они прибегают к образности, когда нет ясности, каким путем следовать, или когда хотят получить упрощенную общую картину, но переходят на символьные вычисления, когда знают, что нужно делать, но не уверены, куда приведет их этот путь. Однако некоторые из них ломятся вперед, ни на что не обращая внимания и пользуясь только символами.

Необычайные математические способности не коррелируют, вообще говоря, с другими качествами. Судя по всему, они достаются людям случайно. Некоторые, такие как Гаусс, проявляют их уже в три года. Другие – и среди них Ньютон – детство растрачивают понапрасну, но расцветают позже. Маленькие дети, как правило, с удовольствием занимаются числами, фигурами и геометрическими узорами, но с возрастом многие теряют интерес к подобным вещам. Большинство из нас способны освоить математику в объемах школьной программы, но немногие готовы идти дальше. Некоторые в принципе не в состоянии освоить этот предмет. Многие профессиональные математики склоняются к мнению, что там, где речь идет о математических способностях, люди не рождаются равными. Если вам лично большая часть школьной математики кажется простой и очевидной, тогда как другие с трудом осваивают самые ее начала, впечатление создается именно такое. Если же одни ваши студенты спотыкаются на простых концепциях, а другие мгновенно схватывают сложные, это ощущение только усиливается.

Возможно, подобных субъективных свидетельств недостаточно; возможно, они ведут в неверном направлении. Так думают многие специалисты по психологии образования. В психологии существует мода на представление о разуме ребенка как о «чистом листе». Любой человек может заниматься чем угодно: все, что для этого нужно, – это обучение и много-много практики. И если вы захотите достаточно сильно, то сможете этого добиться. (А если не добьетесь, то это будет означать, что вы хотели недостаточно сильно… прекрасный пример порочного замкнутого круга в рассуждениях, столь любимого спортивными комментаторами.) Было бы прекрасно, если бы дело обстояло именно так, но Стивен Пинкер уже детально проанализировал эту политически корректную надежду в книге «Чистый лист» (The Blank Slate). Кроме того, многие работники образования встречают у своих учеников такое нарушение здоровья, как дискалькулия, которая мешает обучению математике точно так же, как дислексия мешает чтению и письму.

Физически мы не рождаемся одинаковыми. Но многие люди почему-то думают – или хотят думать, – что у нас одинаковые умственные способности. В этом мало смысла. Структуры мозга влияют на умственные способности, так же как структуры тела влияют на физические характеристики человека. Одни люди обладают фотографической памятью и запоминают все в подробностях. Представляется маловероятным, что любого человека можно научить фотографической памяти, если только не затратить достаточно усилий на обучение и практику. Гипотезу чистого листа часто оправдывают указанием на то, что почти каждый, кто добивается серьезных успехов в какой-то области человеческой деятельности, много практикуется в ней. Это правда – но это не значит, что каждый, кто много практикуется в какой-либо области человеческой деятельности, сможет добиться в ней серьезного успеха. Аристотель и Буль хорошо знали, что «из B следует A» – не то же самое, что «из A следует B».

Прежде чем вы рассердитесь, поясню: я не против того, чтобы пытаться учить математике или чему бы то ни было всех без исключения. Каждому из нас будут полезны хорошее преподавание и практика, о какой бы области человеческой деятельности ни шла речь. Именно поэтому образование стоит свеч. Дьёрдь Пойа в книге «Как решать задачу» (How to Solve It) привел несколько полезных трюков. Эта книга немного напоминает самоучители на тему «как обрести суперпамять», но направлена на решение математических задач. Однако люди с фотографической памятью не пользуются мнемоническими фокусами. То, что они хотят вспомнить, всплывает в их памяти сразу же, как только им это потребуется. Аналогично, даже если вы овладеете всеми фокусами мастера Пойа, вы вряд ли станете новым Гауссом, сколько бы труда вы в это ни вложили. Гауссов этого мира не нужно учить разным фокусам. Они сами придумывают их для себя, еще в колыбели.