Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

И тут на сцене появляется Тёрстон и переворачивает ситуацию с ног на голову.

Топология – это геометрия резинового листа, и вопрос Пуанкаре был топологическим. Естественно, все пытались искать ответ на него топологическими методами. Тёрстон же выбросил пресловутый резиновый лист и подумал: а не геометрической ли на самом деле является эта задача? Он не решил ее, но через несколько лет его идеи вдохновили молодого российского математика Григория Перельмана на ее решение.

Вспомним (глава 11), что существует три вида геометрии: Евклидова, эллиптическая и гиперболическая. Это геометрии пространств с нулевой, постоянной положительной и постоянной отрицательной кривизной соответственно. Тёрстон начал с любопытного факта, который кажется почти случайным. Он заново вспомнил классификацию поверхностей – сфера, тор, 2-тор, 3-тор и т. д., как в главе 18, – и задался вопросом: какие типы геометрии здесь встречаются? Сфера имеет постоянную положительную кривизну, так что ее естественная геометрия – эллиптическая. Одна из реализаций тора – плоский тор – представляет собой квадрат, противоположные стороны которого отождествляются. Квадрат – плоский объект на плоскости, так что его естественная геометрия – Евклидова, а правила склеивания придают плоскому тору тот же самый тип геометрии, каким обладает квадрат. Наконец, хотя это и не так очевидно, естественной геометрией любого тора с двумя или более отверстиями является гиперболическая геометрия. Как-то так получается, что гибкая топология поверхностей сводится к жесткой геометрии – и при этом возникает все три возможных варианта.

Разумеется, поверхности – особый случай, но Тёрстон заинтересовался: не происходит ли чего-то подобного и с трехмерными многообразиями? Поразительная геометрическая интуиция помогла ему быстро понять, что ситуация не может быть настолько простой. Некоторые трехмерные многообразия, такие как плоский тор, являются Евклидовыми. Другие, такие как 3-сфера, – эллиптическими. Есть и гиперболические. Но большинство трехмерных многообразий не относится ни к первым, ни ко вторым, ни к третьим. Тёрстон, не утратив присутствия духа, попытался разобраться почему и обнаружил две причины. Во-первых, для трехмерных многообразий существует восемь разумных геометрий. Одна из них, к примеру, аналогична цилиндру: плоская в одних направлениях и положительно искривленная в других. Второе препятствие более серьезно: многие 3-многообразия до сих пор не изучены. Однако работающий метод, по всей видимости, представлял собой своего рода эффект мозаики. Любое 3-многообразие, судя по всему, строится из кусочков, каждый из которых характеризуется естественной геометрией одного из уже упомянутых восьми возможных типов. Более того, кусочки должны быть не какими попало: их можно выбрать так, чтобы они стыковались между собой строго определенным образом. Эти идеи заставили Тёрстона в 1982 г. озвучить свою гипотезу геометризации: любое трехмерное пространство может быть разрезано единственным, по существу, образом на куски, каждый из которых обладает естественной геометрической структурой, задаваемой одной из восьми его геометрий. Гипотеза Пуанкаре для 3-многообразий – простое следствие из этой гипотезы. Но дальше дело застопорилось. Математический институт Клэя назвал гипотезу Пуанкаре одной из задач, за решение которых была объявлена Премия тысячелетия: за ее доказательство полагался приз в $1 млн.

В 2002 г. Перельман разместил на сайте под названием arXiv препринт статьи, посвященной теме, известной как поток Риччи. Эта концепция связана с общей теорией относительности, в которой тяготение представляет собой результат кривизны пространства-времени. Ранее Ричард Хэмилтон уже высказывал мысль о том, что поток Риччи потенциально может дать простое доказательство гипотезы Пуанкаре. Идея состояла в том, чтобы начать с гипотетического трехмерного многообразия, такого, что любая замкнутая кривая в нем сжимается в точку. Такое многообразие можно интерпретировать как искривленное трехмерное пространство в Евклидовом смысле – впервые эта идея была высказана в хабилитационной диссертации Римана (глава 15).

А теперь самое хитрое: попытайтесь перераспределить кривизну так, чтобы сделать ее более равномерной.

Представьте, что вы пытаетесь погладить рубашку. Если вы не позаботитесь о том, чтобы поровнее разложить ее на гладильной доске, на рубашке возникнет множество неровностей и складок. Это области высокой кривизны. В остальных местах ткань рубашки лежит на плоскости ровно, то есть кривизна нулевая. Вы можете попытаться разгладить неровности утюгом, но ткань плохо сжимается и растягивается, так что неровности будут либо сдвигаться на другое место, либо заглаживаться, образуя морщины. Более простой и эффективный метод, не позволяющий неровностям сдвигаться или появляться вновь, состоит в том, чтобы взять рубашку за края и растянуть. Тогда естественная упругость ткани разгладит неровности. Поток Риччи делает нечто подобное для 3-многообразия. Он перераспределяет кривизну из областей, где она высока, в области с более низкой кривизной, как будто пространство пытается сгладить и выровнять свою кривизну. Если все работает как надо, кривизна продолжает перетекать с места на место, пока не станет одинаковой всюду. Возможно, результат окажется плоским, возможно, нет, но так или иначе его кривизна в любой точке должна быть одинаковой.

Гамильтон показал, что эта идея работает в двух измерениях: бугристая поверхность, на которой любая замкнутая кривая сжимается в точку, может быть разглажена при помощи своего потока Риччи до состояния, когда она будет обладать постоянной положительной кривизной – то есть превратится в сферу. Но в трех измерениях существуют препятствия, и поток может застрять там, где кусочки многообразия сходятся и образуют морщины. Перельман нашел способ обойти эту проблему – для этого он предлагал, по существу, отрезать проблемный кусок рубашки, отгладить его отдельно, а затем пришить обратно. В упомянутой статье и последовавшем дополнении утверждалось, что этот метод доказывает и гипотезу Пуанкаре, и гипотезу Тёрстона о геометризации.

Как правило, заявления о найденном решении какой-то известной крупной задачи математическое сообщество поначалу встречает скептически. Большинству математиков случалось находить собственные многообещающие доказательства для какой-то сложной интересующей их задачи – только для того, чтобы обнаружить в нем небольшую незамеченную ошибку. Но в данном случае с самого начала было общее ощущение того, что Перельману, возможно, действительно удалось это сделать. Предложенный им метод доказательства гипотезы Пуанкаре выглядел правдоподобно; гипотеза о геометризации казалась, пожалуй, более проблемной. Однако общего мнения недостаточно: доказательство должно быть проверено. К тому же текст на сайте arXiv – а ничего другого и не было – оставлял множество пробелов, которые читатели должны были заполнять сами; подразумевалось, что эти шаги очевидны. На самом же деле на заполнение этих пробелов и проверку логики доказательства ушло несколько лет.