Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

10

Не много ли неожиданных и странных свойств? Тогда еще только два, быть может, самых любопытных.

Первое — ориентированность. Конечно, можно было бы подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение "от противного": это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нем заключен целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели — несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист, никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то с изумлением обнаружат, что превратились в свое собственное зеркальное отображение. Конечно, все это случится только, если они живут в листе, а не на нем.

Впрочем, это удивительное явление можно наблюдать и на действующей модели плоского мира Мёбиуса — для этого надо сделать ленту из любого прозрачного материала.

11

И наконец, то, что носит название "хроматический номер". Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листке бумаги, даже если его склеить в кольцо, еще никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырех. Это и значит, что хроматический номер этих поверхностей — четыре. А на бублике число соседствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как это ни поразительно, равен шести.

Конечно же, такое не укладывается в голове. Ну в самом деле, не довольно ли этих мёбиусовских мистификаций? Видите ли, на ленте, склеенной, как положено, размещается всего четыре цвета, а стоит соединить ее концы шиворот-навыворот — и непонятно, как находится место еще для двух цветов! Но клин выбивают клином, одну головоломку — другой. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать этого не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима (неразрешима на плоскости, а на торе, то есть бублике, например, все получается просто). А теперь взгляните на рисунок (10). Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. Разумеется, вы снова получите все тот же лист Мёбиуса. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на листе, а внутри него. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку.

И напоследок возьмите еще раз в руки лист Мёбиуса — одностороннюю неориентированную поверхность с одним краем, числом Бетти, равным двум, и хроматическим номером, равным шести. Этот листок бумаги открыл математикам мир новых возможностей, а вам доставил несколько приятных минут. Но не спешите с благодарностью прощаться с ним. Он нам еще встретится — в космических далях Вселенной.

...У Фридриха Дюрренматта, в его нашумевшей в свое время пьесе "Физики", трое абсолютно здоровых ученых сознательно изображают из себя сумасшедших. Весь персонал дома умалишенных обращается к ним не иначе как "господин Ньютон", "господин Эйнштейн" и "господин Мёбиус". Разумеется, фантазия драматурга могла поместить в столь экзотические обстоятельства и других каких-либо прославленных ученых — тем более, что Мёбиус не такой уж физик, каким он, видимо, казался Дюрренматту. И все-таки выбор его не выглядит случайным. Вселенная Эйнштейна сменила вселенную Ньютона благодаря тому, что удалось постичь некую глубокую внутреннюю закономерность, свойственную природе. Вселенная Мёбиуса... Нет, конечно, ее не было, нет и, наверное, не будет. Но мёбиусианские идеи касаются настолько интимных свойств нашего мира, что они просто не имеют права как-то не проявить себя в грядущих фундаментальных исследованиях.

Математика есть способ называть разные вещи одним именем.

"Слово — не воробей" — хотя такое определение и называется отрицательным, но с ним не поспоришь. Пришла поpa сдержать данные обещания. Итак, чем же мы сможем помочь несчастным плоскатикам, если их сапожники в целях экономии станут делать обувь только на одну ногу? А мы просто изымем ровно половину этой сверхрентабельной продукции и подвергнем ее еще одной технологической операции: перевернем и вновь положим на землю Плосколяндии. Теперь зеркальный глянец будет уже на зеркально отраженных туфлях, и останется лишь составить пары. Обратите внимание, что "двумерец" точно так же может зеркально преобразовать любую одномерную вещь — вынуть ее для этого из Линеляндии в свою плоскую страну и, перекрутив, вернуть обратно. Идучи по накатанной дорожке аналогий, следует и за жителями четвертого измерения признать неоспоримое право превращать любой предмет нашего мира в его зеркальный двойник.

Идея зеркального преобразования мира давно увлекала ученых и мыслителей. Так, Готфрид Вильгельм Лейбниц много думал о том, что бы случилось, если бы вся наша Вселенная вдруг отразилась в некоем сверхзеркале. В конце концов он пришел к выводу, что ничего в ней не изменилось бы. До недавнего времени — до работ американских физиков Ли и Янга — современным ученым нечего было возразить великому немецкому математику и куда менее великому философу. Иммануил Кант, великий немецкий философ, сыгравший выдающуюся роль в развитии диалектики (чья философия, по определению К. Маркса, при всей ее противоречивости и субъективно-идеалистической направленности была немецкой теорией французской буржуазной революции), и куда менее великий физик (хотя он и преподавал эту науку), тоже очень интересовался зеркальными отражениями. В своем знаменитом труде "Пролегомоны будущей метафизики" он писал: "Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем собственное отражение в зеркале! И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки..." Разумеется, сказал бы на это современный нам ученый, который отвык удивляться подобным пустякам, — ведь они энантиморфны. Если вам встретится это ученое слово, знайте: автор хотел сказать "зеркально симметричные". Любые два энантиморфа различают, называя один "левым", а другой "правым". Ботинки, перчатки, левый и правый винт, даже целые автомобили — обычный "Москвич" и "Москвич" с надписью "Связь", у которого руль сделан справа, чтобы почтальону удобнее было выходить на тротуар за письмами, — все это энантиморфы.