Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

8

Попытки "разорвать единство плоской поверхности" сделаны и в других гравюрах Эсхера: "Рептилии", "Дорические колонны", "Три сферы. I" и "Дракон". Третье измерение здесь буквально вырастает из второго — взаимосвязь видна со всей графической отчетливостью.

Вся беда в том, что мы сами живем в третьем измерении и поэтому смотрим на него "изнутри", наш объемный мир мы видим как бы плоским. Звучит парадоксально, но поместите лист бумаги с нарисованной на нем Плосколяндией и всеми ее обитателями точно на уровне глаз — и вы на секунду испытаете трагедию плоскатиков, обреченных жить в двух измерениях, но ощущать лишь одно. Ведь чтобы увидеть фигуру — квадрат ли, круг, им надо хоть немного "выскочить" из своей плоскости. Но это невозможно, и именно поэтому весь мир они воспринимают как одну сплошную "женщину" — прямую линию. Остается лишь обойти фигуру со всех сторон и ощупать ее, но только представители "низших классов" в Плосколяндии могут позволить себе, да и то изредка, столь вульгарное поведение. "Лучше плохо видеть, чем хорошо щупать!" — одна из первых заповедей воспитанного человека в этой стране.

В предисловии ко второму изданию своей книги Эдвин Эбботт отверг обвинения в женоненавистничестве, хотя и согласился с критиками, что он обрек плоскатиков на ужасную жизнь. Однако, заявил он, плосколяндцы обладают третьим измерением, но только оно вне их восприятия — ведь их мир одной толщины.

9

Так не обладаем ли и мы в зачаточной форме четвертым измерением, несмотря на то что даже третье, не освоено еще нами полностью?

Вместо ответа на этот вопрос — несколько совсем уж поразительных фактов, связанных с пространствами более чем четырех измерений.

Помните спор Ньютона и Грегори о тринадцати шарах, касающихся четырнадцатого? Сколько таких целующихся гипершаров может быть в четырехмерном пространстве? Оказывается, 24. А в пространствах пяти, шести, семи, восьми измерений соответственно 40, 72, 126 и 240. Последнее число было найдено в конце прошлого века русскими математиками А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым и уже известным нам англичанином Форольдом Госсетом.

Но это не самое удивительное в парадоксах многомерности. Вот еще один и последний. Куб вместит в себя по диагонали квадрат, площадь которого больше площади одной его грани. В четырехмерный куб впишется обычный куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба. А в n-мерный куб с ребром в один миллиметр войдет океанский корабль и весь наш трехмерный мир, если только п достигнет нужной величины.

Попытайтесь представить себе эти непредставимые вещи — и вы услышите музыку сфер, о которой, собственно, и шла речь в этой главе.

Математика — это большой город, чьи предместья не перестают разрастаться, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как... старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие и удобные...

"Униформа, по местам! Маэстро, туш!" — на арене фокусник. Его инструментарий прост до крайности — горизонтальная перекладина на двух стойках, в которую вбито несколько гвоздей, и на каждом из них висит по длинной яркой ленте. Все самое простое и настоящее — любой желающий волен убедиться в этом собственноручно. Маг закуривает сигарету и горящим концом дотрагивается до первой ленты. Пламя бежит вдоль нарисованной посередине ленты дорожки, вызывая восхищение малышей. Но вот огненное кольцо замкнулось — и тут уж крик удивления вырывается у взрослых: вместо ожидавшихся двух тонких лент появляется одна длинная. Прикосновение сигареты к другой ленте — снова взрыв детского восторга и за ним озадаченное молчание взрослых: теперь перед ними две ленты, продетые одна в другую. Еще одна огненная дорожка — и лента делает еще один неожиданный вольт: теперь она завязывается узлом.

Детская радость понятна — им неведомо, что на свете бывают химики и что они придумали калиевую селитру. Но и недоумение родителей тоже идет от незнания — топологии вообще и одной из ее излюбленных игрушек, "листа Мёбиуса", в частности.

А игрушка эта полюбилась математикам, и не им одним. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена все та же лента. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка — своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В своей работе "Об объеме многогранников" он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента, Мёбиуса. Чтобы наглядно убедиться, что у вашей самоделки действительно всего одна сторона, попробуйте закрасить перекрученную ленту в два цвета — одним с внешней, а другим — с внутренней стороны. Что бы вы ни придумывали, вам это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре Маурица Эсхера "Лента Мёбиуса. II".

Итак, односторонность. В геометрическом, разумеется, понимании этого слова, потому что в нашем общечеловеческом смысле трудно представить себе более разностороннюю геометрическую фигуру. Теперь, когда вы познакомились с ней, наверное, уже никакая сила не Удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы, показанные в Цирке.