Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

И заодно подумайте еще вот о чем. В каком же мире мы все-таки с вами живем? Сколько в нем измерений? Конечен ли он? Имеет ли границы?

Разумеется, вы вправе создать свою собственную теорию. Но постарайтесь, чтобы факты, известные сегодняшней науке, уложились в нее. А факты эти, например, такие.

Справа, где сердце

Все тела притягиваются друг к другу. С силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это закон, открытый Ньютоном.

Оставим пока в покое массы. Итак, гравитационное взаимодействие убывает с расстоянием, и зависимость эта квадратичная. Но то же самое происходит и с магнитными, и с электростатическими силами. И свет, и радиация распространяются по этому же закону: интенсивность падает как квадрат расстояния от источника. Так может быть только в трехмерном пространстве. Ведь воздействие передается во все стороны равномерно, по все расширяющимся сферам, площадь которых, как известно, равна 4πR 2. Но если бы пространство было, например, четырехмерным, то вместо квадрата в формулах физики фигурировал бы куб. Мало того, планеты не вращались бы вокруг Солнца по замкнутым траекториям, но двигались бы по спирали, либо приближаясь, либо удаляясь от него. Ясно, что и в том и в другом случае жизнь во Вселенной была бы невозможна.

Теперь, наоборот, оставим в покое расстояние между телами и подумаем об их массе. Если наша Вселенная бесконечна и материя распределена в ней равномерно, то в любой ее точке сила тяготения должна быть бесконечно большой. Но это означает, что ни одна планета не могла бы существовать — этот материальный остров в море пространства был бы растянут силами гравитации. Значит... значит, Вселенная не бесконечна? Но что же тогда за ее краем?

Альберт Эйнштейн нашел выход из этого логического тупика. Вселенная хотя и конечна, но безгранична! С ней как раз все в порядке. Беда в нас самих — в нашей слепой приверженности к геометрии Евклида. Мы уверены, что параллельные линии не пересекаются, что кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая. Но ведь этого никто и никогда не доказал. Мало того, все мы знаем, что это вовсе не так. Чтобы сократить дорогу от Москвы до Владивостока, летчик поведет самолет вовсе не по прямой линии, а по дуге большого круга Земли — так называемой геодезической линии. Если нарисовать на земной поверхности огромный круг, то отношение его диаметра к длине окружности будет меньше я. Все это из-за кривизны нашей планеты, из-за того, что она не плоская. Параллельные линии — дуги большого круга — пересекаются. И узнали мы об этом задолго до космических полетов, людям не пришлось глядеть на свою планету извне, чтобы понять, какой она формы. Так и Эйнштейн, размышляя над известными астрономическими фактами, пришел к мысли, что наша Вселенная искривляется и в математическом смысле эквивалентна четырехмерной сфере.

(Слышно ли космическое звучание темы Круга и Сферы?)

"Достоевский дает мне больше, чем любой мыслитель..." — говорил Эйнштейн. "Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я это сам увижу: увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму", — говорил Иван Карамазов. И ему же принадлежат слова о "малосильном и маленьком, как атом, человеческом евклидовом уме", об уме, "созданном с понятием лишь о трех измерениях". Да, нам кажется, что луч света пронизывает Вселенную по прямой, но ведь и крот, сколько бы он ни рыл свою нору, будет уверен, что Земля плоская. Массивные тела притягивают к себе все сущее и свет в том числе, раз он состоит из материальных частиц — фотонов. ("Не действуют ли тела на свет на расстоянии и не изгибают ли этим действием его лучей?" — высказывал гениальную догадку Ньютон.) Но если вблизи тел большой массы искривляется абсолютно все, даже свет, то это значит, что I искривляется само пространство. И тут полная аналогия с Плосколяндией, расположенной на поверхности большого шара, которая тоже искривляется в пространстве, но высшем, чем то, что могут осознать плоские "двумерцы".

"Когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это" — так объяснил Эйнштейн своему девятилетнему сыну, чем же он, собственно, прославился в науке. Жаль, что он не мог для наглядности показать ему гравюру Эсхера "Спирали на сфере".

Плоские "двумерцы", живущие на сфере, смогли бы обнаружить, что их вселенная искривлена, если бы стали, например, строить заборы вокруг какого-нибудь своего дворца — один за другим, каждый длиннее предыдущего. В один прекрасный момент они бы обнаружили, что на новые заборы идет все меньше материала. Какой-нибудь гениальный плоскатик сообразил бы, что строители перешли на экватор сферы.

Нам, "трехмерцам", пришлось бы строить гигантские сферы вокруг Земли — одну больше другой. Каждому ясно, насколько это сложное предприятие. Но ясно ли каждому, что значило решить ту же задачу "на обороте старого конверта?"

Общая теория относительности — это открытие не физика, не астронома, а математика. Во всяком случае, так считают многие физики и математики. Академик С. Л. Соболев говорил как-то в одном из своих интервью; "В середине XIX века Лобачевский построил свою "воображаемую геометрию", а затем Риман развил его идею и создал математическую теорию пространства, обладающего переменной внутренней кривизной, то есть имеющего различную кривизну в различных точках. Из этих исследований возник великолепный математический аппарат — тензорный анализ. Благодаря ему из трудов Пуанкаре и Эйнштейна родилась теория относительности..."

К этим словам можно только добавить, что теория относительности не родилась бы в голове Эйнштейна, если бы с ранней юности в ней не поселилась неотвязная мысль: как соотносится математика и реальный мир? Пуанкаре считал — никак. То есть каждый волен выбирать себе любую математику, произвольную геометрию — Евклида, Лобачевского, Римана или свою собственную непротиворечивую систему аксиом, из которой логически строго следуют все теоремы. Быть может, именно это заблуждение помешало Анри Пуанкаре открыть теорию относительности, ведь математически он был подкован лучше Альберта Эйнштейна. Сам же Эйнштейн считал, что ученый не волен в выборе геометрии, его математика должна проверяться окружающим миром. "...Геометрия сохраняет характер математической науки, — писал он, — так как вывод ее теорем из аксиом останется по-прежнему чисто логической задачей; но в то же время она становится и физической наукой, так как ее аксиомы содержат утверждения, относящиеся к объектам природы, — утверждения, справедливость которых может быть доказана только опытом".