Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

"Погоня за идеей — занятие столь же захватывающее, как и погоня за китом", — писал Генри Норрис Рассел. Он не мог, конечно, сбросить со счетов те случаи, когда кит срывается с гарпуна. Построение Кеплера рухнуло, но сами поиски геометрической целесообразности устройства мира не становятся от этого менее привлекательными. В саду геометрии все видно, все наглядно — ветви в нем не спрятаны под листвой недоступных формул и абстрактных идей.

Но они переплетены. Вписывая, по-кеплеровски, правильные многогранники в сферу, мы не только создаем красивое построение, но и вторгаемся в новую область нашей "многогранной" темы. О том, что случается, когда правильный многогранник вписывают в сферу — о сферических мозаиках, о математических мозаиках вообще, которые есть не что иное, как вырожденные многогранники, — речь пойдет дальше. А пока — лишь один взгляд на гравюру М. К. Эсхера "Колючий цветок": его лепестки так же переплетены, как и геометрические проблемы, очередь которых впереди.

Мой дорогой отец!.. Как поживают травы, кустарники и деревья? Коровы, овцы, лошади, собаки и люди?.. Я сделал тетраэдр, додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия.

"Математик, так же как художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей". В книге "Апология математики", изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой частности, как геометрические мозаики. Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры Эсхера "Всадники", "Лебеди", "Восемь голов", "Мозаика. II", а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без "зазоров" покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то, что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения портного или обувщика, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство. Оно достигло наивысшего расцвета семь веков назад в Испании. Правда, мавры не могли заполнять свои плоскости изображениями зверей или птиц, а тем более человека — Коран в ином, правда, смысле, чем Библия, но тоже запрещает "сотворять себе кумира", и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца арабских султанов в Гренаде, — это мозаика из абстрактных фигур. Но это как раз то, что нас сейчас интересует!

"Математики — вроде французов: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык и сразу получается что-то совсем другое" — в шутке Гёте много смысла. Да, математик вкладывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его даже радует, что в Коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе всего его сердцу узоры, составленные из одинаковых правильных многоугольников, — правильные математические мозаики.

А какие они могут быть? Первое, что приходит в голову, — правильная четырехугольная квадратная мозаика, порождение ограниченности нашей нынешней строительной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут встретиться нам в этом мире? "Треугольная", — скажете вы, и будете правы: равносторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двуугольных фигур не бывает, и потому следующий претендент на роль мозаичного кирпича...?

"Правильный пятиугольник!" — возможно, скажете вы, и ошибетесь!

Правильные пятиугольники не смогут встретиться в одной вершине, втроем они не сомкнутся вокруг нее, а вчетвером налезут друг на друга. Следующий испытуемый — правильный шестиугольник Тут все в порядке: угол между любыми двумя сторонами равен 120 градусам, значит, три их как раз и образуют 360. Такая мозаика — она называется гексагональной — часто встречается в природе. Это пчелиные соты (16) или, например, поверхность жидкости, подвергнутой высокочастотной вибрации, — такую мозаику можно "остановить" с помощью стробоскопа (17).

Но шестиугольная мозаика — последняя наша удача.

Право, на праведную геометрическую жизнь имеют мозаики только трех типов: {4,4}, {3,6} и {6,3}. Это опять символы Шлефли, и они по-прежнему означают, что в вершине мозаики могут сойтись либо четыре четырехугольника, либо шесть треугольников, либо, наконец, три шестиугольника — и никаких иных правильных многоугольников. Все эти мозаики, переходящие благодаря воображению художника одна в другую, вы увидите на гравюре Эсхера "Метаморфозы. II".

Две последние мозаики очень похожи друг на друга, хотя внешне у них все вроде бы наоборот: вершины одной служат центрами граней другой (18, 19). Символы их {3,6} и {6,3} совсем не случайно симметричны, и не случайно треугольная и гексагональная мозаики называются двойственными. Про квадратную же мозаику {4,4} приходится сказать, что она двойственна сама себе.

"Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики", — пишет в своей прекрасной книге "Симметрия" Герман Вейль. Его высказывание ни в явном, ни в неявном виде не содержит гиперболы: среди декоративных узоров древности, главным образом в египетских орнаментах, дошедших до нас, содержатся все возможные виды симметричного расположения на плоскости любых фигур, а таких видов, оказывается, всего семнадцать. "Вряд ли возможно переоценить глубину геометрического воображения и изобретательность, запечатленные в этих узорах, — продолжает Вейль. — Их построение далеко не тривиально в математическом отношении... 17 видов симметрии, в неявном виде известных еще египетским ремесленникам, исчерпывают все возможные случаи. Довольно странно, что доказательство этого факта было дано лишь в 1924 г. Д. Пойя".

Еще более, пожалуй, странно, что такой крупный специалист, как Герман Вейль, тут ошибается: все эти семнадцать расположений были найдены известным русским ученым Евграфом Степановичем Федоровым и описаны в его работе "Симметрия на плоскости", изданной в Санкт-Петербурге в 1891 году. Впрочем, проблема эта интересовала многих ученых. Шестнадцать из семнадцати групп указал француз Камилл Жордан в "Мемуаре о группах движения" в 1869 году, тринадцать — немец Леонгард Зонке спустя еще пять лет. И, надо сказать, было из-за чего тратить время и бумагу. Речь шла не просто о математических курьезах — создавался подход к пониманию строения кристаллов, "каменных цветов", удивительных созданий Природы.