Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

13

"Только забавляясь и учатся", — считал Анатоль Франс. Известный ирландский ученый сэр Уильям Роуэн Гамильтон в 1859 году занялся математическим бизнесом: выпустил в продажу головоломку, состоящую из деревянного додекаэдра, в каждую из двадцати вершин которого вбит гвоздь с большой шляпкой, чтобы не соскакивала обернутая вокруг него веревка. Под каждым гвоздем стояло название крупного города — Дели, Филадельфия, Брюссель... Надо было продолжить веревочный маршрут, проходящий через все центры цивилизации точно по одному разу.

Очевидно, новый товар не вызвал ажиотажа на рынке, а изготовлять правильный двенадцатигранник не так просто, и потому Гамильтон предложил другой вариант игры — технологически намного упрощенный. Роль додекаэдра, пространственного тела, играло его плоское изображение — так называемый граф, то есть фигура, составленная из вершин, соединенных ребрами. (Все многоугольники, все мозаики, что мы рассматривали и еще только будем рассматривать, — это, несмотря на свой простецкий вид, типичные графы.)

Граф, заменяющий собой многогранник, повторяет его архитектуру — столько же вершин, столько же ребер и граней, тот же способ соединения их друг с другом. (Потому формула Эйлера, справедливая для многогранников, верна также и для графов.) Вот один из способов получить такой граф: надо спроецировать весь многогранник на плоскость одной из его граней, а центр проекции выбрать недалеко от ее середины. Тогда для пяти Платоновых тел получаются графы (см. 73-ю страницу книги). Они называются диаграммой Шлегеля. Таким нам увиделся бы гигантский многогранник, если бы мы удалили одну его грань, забрались в образовавшуюся дыру и стали рассматривать его изнутри. Диаграммы эти очень удобны — они позволяют на листе бумаги производить манипуляции с объемным телом, чем и воспользовался Гамильтон, чтобы упростить свою нерентабельную головоломку.

Математика сохранила память о его поучительной игрушке — до сих пор линия, проходящая по одному разу через все вершины графа, называется гамильтоновой. Но и сейчас никто не может сказать, существует ли для того или иного графа гамильтонова линия или нет. А это весьма обидно, ибо жизнь часто требует ответа на подобный вопрос. Например, знаменитая "задача о странствующем торговце" состоит в том, что он должен посетить несколько городов и как можно скорее вернуться домой. В общем виде эта транспортная проблема не решена. Можно, конечно, перебрать все варианты и выбрать наилучший порядок обхода городов, но если их много, за дело без мощных вычислительных машин лучше не браться. Впрочем, кое-какие задачи подобного типа все-таки решены — например, найдена кратчайшая авиалиния, проходящая по всем главным городам Америки.

"Со времен древнегреческих философов правильные многогранники считались не более, чем игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического значения. весьма замечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре внимания биологов в их яростных спорах относительно точной формы вирусов", — замечает в своей превосходной книге "Нить жизни" крупнейший специалист в области структуры белка Джон Кендрью — тот самый, который сумел определить пространственную конфигурацию молекулы миоглобина, за что и получил Нобелевскую премию. В этой книге помещена чрезвычайно любопытная фотография вируса, поражающего комара-долгоножку, так называемого иридесцентного вируса Tipula (14). До того, как его сфотографировали под электронным микроскопом, на вирус этот с двух разных сторон направляли атомы металла. Поэтому позади него образовались своего рода "тени". И вот этот метод двойного напыления позволил разглядеть на фотографии, что тени имеют острые Углы! Значит, вирус не может быть совершенно кругам, как считалось ранее. Чтобы установить точную его форму, брали различные многогранники и направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов металла на частицу вируса. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень. Имя его — икосаэдр.

14

Послушайте Джона Кендрью:

"Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов".

Так "решают" вирусы сложнейшую (ее называют "изопиранной") задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые "сферические вирусы", в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.

Эта внушительная и в то же время удивительно целесообразная конструкция, состоящая из двадцати простейших одинаковых деталей — правильных треугольников — и заключающая внутри себя наибольший возможный объем, вновь наталкивает на мысль об изначальной простоте Природы. Она строит все свое богатство и разнообразие из простейших блоков. Недаром же Джон Кендрью назвал вирусы "живой архитектурой". В свете последних научных достижений платоновский четырехэлементный мир не кажется больше таким уже абсурдным. И вслед за Адельбертом Шамиссо, немецким поэтом и ученым, хочется повторить полушутливые слова: "Во мгле веков перед нашим взором блеснула истина. Она, как теорема Пифагора, до наших дней еще верна".