Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

О двух других телах Кеплера-Пуансо (большом звездчатом додекаэдре — 27 и большом икосаэдре — 28) тоже можно было бы сказать немало интересного. Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать: ведь удивительное дело, почему и в этой паре, "увидев" одну фигуру, Кеплер честь открытия второй оставил Пуансо?

А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Порядок и хаос". Вот что пишет о ней сам художник: "Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей". Мы уже воспользовались одной из них — веревкой, когда говорили о головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился и сам додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный — мы позаимствовали его с другой гравюры того же автора — "Рептилии". Посмотрите на нее внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой, составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная, шестигранная.

21

"В мире нет места для некрасивой математики", — считал Готфрид Харди.

Обложку прекрасной книги Гарольда Скотта Макдональда Коксетера "Введение в геометрию" (ей тоже очень многим обязана эта "Рапсодия") украшает фигура, которую вычертил в 1932 году Джон Флаундере Петри, сын великого египтолога и — что гораздо интереснее — один из очень немногих людей на Земле, кто умел строить в своем воображении четырехмерные тела, подсчитывать в уме число их элементов и отчетливо представлять себе их взаимное расположение. Вычерченная им фигура, о которой идет речь, вполне земная, трехмерная, но и она была получена довольно непросто. Вписанный в сферу правильный икосаэдр спроецировали на эту сферу из ее центра (29). Все его ребра перешли в дуги большого круга, которые разбили сферу на множество сферических треугольников. (Дуги эти на плоскости изображаются эллипсами, в этом и была основная сложность вычерчивания "фигуры Петри".) Таким образом, правильный многогранник породил правильную сферическую мозаику — узор, покрывающий всю сферу, составленный из одинаковых фигур. (Центральные и периферийные треугольники выглядят разными только из-за того, что спроецированный на сферу икосаэдр пришлось спроецировать еще раз — на плоскость страницы этой книги, а при этом нельзя обойтись без искажений.)

22

Но у "фигуры Петри" есть еще одно замечательное свойство. Вглядитесь в нее повнимательнее, она того вполне заслуживает. Можно не только получить сеть сферических треугольников из правильного многогранника, но и, наоборот, этой сетью поймать платоново тело, да не одно, а целых два! Шесть треугольников, окружающих вершину, образуют треугольную грань раздувшегося до сферы икосаэдра, а десять треугольников, объединившихся вокруг вершины в центре, — пятиугольную грань такого же додекаэдра. Другие грани вы теперь увидите без труда. И, повинуясь вашей воле, разбитая на черно-белые треугольники сфера, подобно оборотню зрительных иллюзий, преобразуется то в двенадцати, а то и в двадцатигранник. Ничего удивительного в подобной двойственности нет, стоит лишь, вспомнить, что символ Шлефли у икосаэдра {3,5}, а у додекаэдра — {5,3}. То есть они взаимные многогранники: середины граней одного служат вершинами для другого (22).

23

"Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии" — таково мнение Л. А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики. Не будем же лишать себя удовольствия познакомиться с еще одним — самым многочисленным — отрядом многогранников, имеющих отношение к нашим Платоновым телам. Для этого надо лишь быть последовательным — отказаться еще от одного ограничения.

Почему правильные многоугольники, служащие гранями, так уж обязательно должны быть все на одно лицо? И сразу же обретают право на жизнь полуправильные многогранники, описанные еще Архимедом. Они получаются из Платоновых тел либо "отсечением углов", либо "отсечением ребер". Интересно, что две тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего тринадцать, и лишь в 1957 году обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из пяти квадратов и четырех правильных треугольников, можно повернуть на 45 градусов. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник, который можно было бы назвать ашкинузеэдром — в честь открывшего его советского математика В. Г. Ашкинузе.

24

Итак, к пяти правильным Платоновым и пяти почти правильным, то есть звездчатым, телам Кеплера-Пуансо надо прибавить еще четырнадцать полуправильных тел Архимеда-Ашкинузе. Но тогда уж, по справедливости, надо включить в этот реестр и "почти полуправильные", то есть звездчатые полуправильные многогранники: например, звездчатый кубооктаэдр, изображенный на гравюре М. К. Эсхера "Кристалл". Тут, однако, есть одна тонкость. Если про правильные — обычные и звездчатые — многогранники Огюстен Коши в 1812 году строго доказал, что их может быть только десять, то касательно полуправильных известно лишь, что 14 обычных дают 51 звездчатый. Но исчерпывается ли этим "полуправильное многообразие" — этого сегодняшние геометры не знают [11] Множество звездчатых тел получил советский исследователь В. Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов" созданных В. А. Сомовым и А. М. Бреславцем. .

Впрочем, даже если и удастся доказать, что эти фигуры заполняют собой всю "обойму", то и тогда никто не назовет суммарного числа полуправильных фигур. Ведь в их число входят еще две бесконечные серии, описанные Архимедом в трактате "О многогранниках". Это призмы и антипризмы — фигуры, в основаниях которых лежат любые правильные n-угольники, а боковыми гранями служат либо квадраты, либо равносторонние треугольники. Так, словно потешаясь над нашим вполне естественным стремлением провести полную инвентаризацию всех ее тайн, Природа приготовила для нас целых две геометрические бесконечности.

Но это не единственная из ее геометрических шуток.

"Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с сотворения мира до собрания британской ассоциации в абердине в 1885 году, сколько найдется таких, которые на вопрос "сжался ли песок под вашей ногой?" ответили бы иначе, чем "да!"?" — вопрошал на лекции в Балтиморе лорд Кельвин. И на самом деле, никто не усомнился бы в правильности такого ответа, пока Осборн Рейнольде не доложил в Абердине о своих наблюдениях и выводах. "Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становился сухим, — рассказывал он членам Британской ассоциации ученых. — Надавливание ноги расплющивает, расширяет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды выдавливается из этого места в окружающее пространство... Поднимая ногу, мы видим, что песок под ней и вокруг этого места через некоторое время снова становится влажным. Это происходит потому, что песок снова сокращается после удаления надавливающих сил и избыток воды выступает на поверхность".