Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

И то и другое нам понадобится, когда речь пойдет о фигурах, живущих в четвертом и более высоких измерениях, — сверхмногогранниках.

Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает.

"Я тут не так давно разработал очень любопытный удар лапой эн в икс направлении", — говорит Дракон в пьесе Евгения Львовича Шварца. Очевидно, и омерзительный "летун-хлопотун" что-то искал в многомерном пространстве — наверное, защиту от неминуемой кары. Швейцарского математика Людвига Шлефли, символами которого мы пользовались, говоря о плоских мозаиках и трехмерных многогранниках, интересовало другое. В своей книге "Теория многократной непрерывности" он поставил такой вопрос: правильных многоугольников на плоскости может быть сколько угодно, правильных же многогранников существует только пять. Но это в пространстве трех измерений, а что будет в четвертом? Шлефли установил, что там имеют вид на жительство шесть правильных гипертел — аналогов пяти платоновых. Эти правильные сверхмногогранники, или политопы, состоят из Платоновых тел, которые называются теперь "ячейками политопа", соединенных между собой так, что каждая грань их принадлежит двум, а каждое ребро — сразу нескольким ячейкам. Если, как принято, обозначить это "нескольким" латинской буквой r, то символ Шлефли для политопа будет выглядеть так: {р, q, r}.

Что он означает, наверное, ясно.

Итак, политоп — крайний член последовательности все усложняющихся геометрических образцов: точка — линия — многоугольник — многогранник — политоп. Само это слово придумал в 1882 году Рейнгольд Хоппе — тот самый немецкий математик, что пусть с опозданием на 180 лет, но сумел рассудить спор Ньютона и Грегори, с рассказа о котором началась эта книга. Но в научный обиход оно вошло уже только в нашем веке благодаря Алисе Стотт, родной сестре Этель Лилиан Войнич, автора романа "Овод". Их отец Джордж Буль, известный математик, создатель целой науки — алгебры логики, сумел передать каждой из пяти дочерей часть своих разносторонних талантов. Алиса, например, обладала прекрасным пространственным воображением — она умела воображать четырехмерные фигуры. Сделанные ею модели политопов и по сию пору можно увидеть в Кембридже.

"Хотя аналогия часто вводит в заблуждение, это наименьшее из того, что вводит нас в заблуждение", — писал Сэмюэл Батлер в книге "Музыка, картины и книги". Модели — это, конечно, лишь грубая аналогия. Но их несомненное достоинство? подкупающая простота. Самую примитивную из самоделок, подобных тем, что делала Алиса Стотт, может без труда изготовить любой из подручных материалов, например из проволоки. Если рядом с тетраэдром, правильной пирамидой, расположить некую точку так, чтобы она находилась ото всех вершин пирамиды на расстоянии, равном ее ребру, то получится первый из наших политопов — правильный симплекс, речь о котором уже шла, когда мы делали первые свои шаги в четырехмерье. Его можно рассматривать пятью разными способами как пирамиду, у которой любая вершина играет роль "верхней", а остальные четыре определяют основание. Его проекция на плоскость представляет собой уже не раз встречавшийся нам правильный пятиугольник с вписанной в него пентаграммой — всем нам знакомой пятиугольной звездой. Видно, что у симплекса пять вершин, десять ребер, десять "обычных" двумерных граней и пять трехмерных сверхграней — четырехгранных пирамид, слагающих его "тело". В вершине политопа, "верхней вершине", встречаются три тетраэдра, то есть три трехгранные ячейки, в вершинах которых сходятся по три треугольника. Потому и символ Шлефли выглядит однообразно: {3,3,3}.

Другой аналог Платоновых тел — снова наш старый зйакомый гиперкуб, или "тессаракт", или "измерительный политоп". Как куб можно получить, перемещая квадрат по третьему измерению, так и сверхкуб образуется от движения обычного куба вдоль четвертого измерения. В его вершине назначают себе рандеву три обычных куба, а потому его символ {4,3,3}.

Что же касается остальных четырех правильных политопов, то их представить себе еще сложнее. И в самом деле, попробуйте вообразить фигуру, в каждой вершине которой встречаются четыре и даже пять тетраэдров — {3,3,4} и {3,3,5} или три додекаэдра — {5,3,3}. Внимательный глаз обнаружит, глядя на символы Шлефли, что первый из этих политопов взаимен гиперкубу, два последних — друг другу, а симплекс, как и слагающие его тетраэдры, обойден по части взаимности: у него тут полное самообслуживание. Впрочем, эти соображения куда меньше помогут вообразить облик политопов, чем фотографии моделей двух из них — правильного 120-ячейника, имеющего символ Шлефли {5,3,3}, и взаимного ему правильного 600-ячейника с символом, естественно, {3,3,5} (30, 31). Модели эти представляют собой трехмерные фоекции четырехмерных тел и вместе с тем — чудо ювелирной точности и геометрической интуиции. На выставке "Столетие прогресса" в Чикаго они постоянно собирали вокруг себя восхищенных посетителей. Сделал их Поль Дончиян, армянин, родившийся в Америке, ?го прадед был придворным золотых дел мастером у турецкого султана, и среди других его многочисленных родственников в разных странах Востока многие тоже мыли умелыми ремесленниками. Сам Поль Дончиян до тридцати лет управлял завещанной отцом ковровой фабрикой, пока вдруг ему не начали сниться сны пророческого характера. Но Дончиян не сделался ни предсказателем, ни мистиком. Он решил изучить четвертое изменение, поскольку именно оттуда, по распространенному среди спиритов убеждению, и вещали духи. Задача была: свести все вопросы к самым простым, которые смог бы понять любой человек, не имеющий, как и он сам, никакого математического образования.

"Как геометр, напрягший все старанья... таков был я" — в последних строфах, подводя итог своему гигантскому труду, Данте Алигьери этим сравнением решил дать читателю почувствовать, как много сил, воображения и знаний потребовала от него "Божественная комедия". Известно — это подметил еще Галилей, а снова вернулся к этому вопросу П. А. Флоренский в книге "Мнимости в геометрии", вышедшей в 1921 году, — что геометрия Дантова ада — неевклидова. Но она все-таки трехмерная!