Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

Чтобы вторгнуться в четвертое измерение наиболее ощутимым образом, Поль Дончиян стал делать модели четырехмерных тел. Точнее, он спаивал из тонких проволочек объемные проекции этих тел в наше, третье измерение. Видом в плане в профиле ему служили чертежи, полученные геометрами, — например, тот, что создал голландский математик Ван Осе (32). И. Дончиян, как опытный строитель, воссоздавал по ним объемные фигуры. Он не стремился покрывать грани каким-либо материалом — ведь тогда ребра стали бы видимыми только для существ из четвертого измерения. Его модели — это "скелеты" фигур, то, что Леонардо да Винчи на своих рисунках к книге Луки Пачоли обозначил латинским словом "вакуус" — пустой, полый.

"Соединяя части фигуры между собой, приходится постоянно сверяться с известными проекциями на плоскость, но в то же время не забывать о здравом смысле, — писал о своей работе сам П. Дончиян. — К счастью, модели обладают тем, что в технике называется "защитой от дурака": если допущена ошибка, то она сразу видна и дальнейшая работа становится невозможной. Зато последняя операция — соединение друг с другом внешних и внутренних секций — таит в себе нечто от того волнения, что испытывают две группы рабочих, пробивающих туннель с двух разных сторон горы, когда они, наконец, встречаются и видят, что рыли точно по одной прямой".

Но минуты восторга были редкими, а работа требовала воображения, необычайного терпения и кропотливого, тонкого труда. Зато и результаты ее были намного более впечатляющими, чем даже фотографии получившихся моделей, — ведь как ни размести камеру, все равно какие-то из многочисленных ребер обязательно перекроют друг друга.

"Но живут, живут в N измерениях вихри волн, циклоны мыслей, те, кем смешны мы с нашим детским зреньем, с нашим шагом по одной черте", — писал Валерий Брюсов в своем известном стихотворении "Мир N измерений". И если сегодня удается несколько "приоткрыть засов", стерегущий наш мир трех координат, наши "высь, ширь и глубь", то заслуга в том не поэтов, а математиков — создателей n-мерной геометрии. Их трудами создано немало ухищрений, с помощью которых случается иной раз проникнуть в многомерность.

"Мы должны создавать бесконечное множество новых миров, законы которых мы сможем постигнуть, хотя нога человека никогда не ступит туда", — писал венгерский математик Ласло Фейеш Тот. Мы должны создавать эти миры хотя бы уже потому, что, как считал Николай Иванович Лобачевский, даже самая абстрактная математика когда-нибудь обязательно найдет себе применение. Политопы, порождения изящнейших построений геометрического ума, воспарившего к высшим измерениям, уже с лихвой отработали затраченные на них усилия человечества. Они исправно трудятся в теории связи и линейном программировании — практичнейших из практичных науках. Отточенный из них математический аппарат, накопленный опыт и интуиция служат, когда надо выбирать наибыстрейший способ соединения двух абонентов или самый короткий маршрут, или наилучшую загрузку оборудования, — и вообще во всех случаях, когда решается задача со многими связанными друг с другом неизвестными, которые можно представить как элементы многомерного политопа.

"Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству", — считал Рихард Курант, известный ученый, ныне покойный, бывший иностранным членом нашей Академии наук. Не одна лишь необычная страсть Поля Дончияна говорит о верности этой мысли, таких свидетельств много. Вот одно из последних. Авторское свидетельство, выданное советским изобретателям В. В. Тишину и В. П. Леонову, называется прозаично — "Строительный элемент". Но, быть может, оно несет революцию в строительное дело. В самом деле, вместо огромного количества (сейчас их около трех тысяч) деталей, из которых сегодня собирают здания, предлагается всего два элемента: плита и рама, которые, по сути, представляют собой одну деталь, только рама — полая, а плита — сплошная. Из них получаются и стены, и крыши, и фундамент, и межэтажные перекрытия. Мало того, здание можно потом разобрать, и все его детали использовать в другой стройке — не обязательно даже дома, а, например, взлетно-посадочной полосе на аэродроме.

30

Но как же будет стоять дом без "коробки" — железобетонного скелета, который глаз привык видеть на новостройке? Идея родилась у Василия Платоновича Леонова, когда он еще был студентом мехмата МГУ и изучал кристаллографию. Кристаллы ведь тоже сами себе служат каркасом и могут притом расти в любую сторону. Конечно, это было лишь "умозрительное рассуждение", вызванное "стремлением к эстетическому совершенству". Прошло много лет, понадобилась огромная "волевая деятельность" и самого Леонова, и его соавтора архитектора В. В. Тишина, и вмешательство нашей прессы, чтобы авторское свидетельство, заявка на которое была послана еще в 1963 году, было наконец выдано. Тому способствовало и то, что за эти семь лет на Западе возникло целое направление в строительстве и архитектуре, названное "Организация пространства". Его творцы — испанские архитекторы А. Карильо и М. Ориоль и американский профессор К. Воксман. Один из основных выводов создателей новой науки полностью совпадает с идеей Леонова и Тишина. А именно: есть лишь один способ заставить здание расти, как кристалл, в любом направлении и при этом строить его из одинаковых деталей. Для этого надо, чтобы детали эти по всему своему периметру имели паз, в который мог бы войти выступ от другой такой же детали. Но ведь это невероятно сложно — окружить деталь одновременно и выступом, и соответствующей ему впадиной... Или же это невероятно просто! Придуманная Леоновым и Тишиным конструкция решает эту проблему. Да, это всего-навсего плита, два слоя которой сдвинуты друг относительно друга по диагонали так, что получается гребень. Соединяя такие элементы друг с другом, можно строить все что угодно, например, фигуру, собранную из рам — полых плит, идущих на оконные и дверные проемы, внутренние перегородки, и вообще во всех случаях, когда стена не должна быть сплошной (33). Конечно, из таких же деталей лучше собирать не абстрактные конструкции, а вполне конкретные здания. Их каркас получается сам по себе, он просто следствие особой геометрии плиты.

31

Монтаж "коробки" благодаря одинаковости всех деталей и их соединений убыстряется в четыре-пять раз, его можно без труда автоматизировать, плиты и рамы Леонова-Тишина легки в изготовлении, их удается многократно использовать при реконструкции зданий, да мало ли еще полновесной прибыли несет людям "волевая деятельность", связанная со "стремлением к эстетическому совершенству". А ведь это только один из множества примеров плодотворного вторжения математической мысли в наиболее, казалось бы, изученные области нашей жизни...