Альфред Реньи - Диалоги о математике

Сократ . Нет, мой друг, если бы даже я смог, я бы не сделал этого, и только ради твоей же пользы. Знания, получаемые без труда, ничего не стоят. До конца мы понимаем только то — возможно, с помощью извне, — что узнаем сами, подобно тому как растение может использовать только ту воду, которую оно высасывает из почвы собственными корнями.

Гиппократ . Хорошо. Продолжим наши поиски тем же методом, но помоги мне вопросом.

Сократ . Теперь я вижу, дорогой Гиппократ, что мы должны вернуться назад, если хотим продвинуться вперед.

Гиппократ . Как далеко нам следует вернуться?

Сократ . Я думаю, мы должны вернуться к тому моменту, когда мы установили, что математик имеет дело не с числом овец, кораблей или других реальных вещей, а с числами как таковыми. Me думаешь ли ты, однако, что математическое открытие, верное для простых чисел, справедливо также и для чисел реальных предметов? Например, математик определяет, что 17 — это простое число. А разве не правда, что ты не можешь 17 живых овец равномерно распределить между людьми, если их не 17 человек?

Гиппократ . Конечно, это правда.

Сократ . Значит, то, что математик знает о числах, можно применять к действительно существующим предметам?

Гиппократ . Это так.

Сократ . А в отношении геометрии? Не опирается ли архитектор на геометрические теоремы, когда он чертит план постройки? Не использует ли он знаменитую теорему Пифагора, когда вычерчивает прямой угол?

Гиппократ . Ты прав.

Сократ . А не использует ли геометрию также землемер?

Гиппократ . Это общеизвестно.

Сократ . А корабельный плотник или кровельщик?

Гиппократ . Они поступают точно так же.

Сократ . А когда гончар делает кувшин или мореплаватель подсчитывает, сколько зерна вмещают трюмы его корабля, разве они не нуждаются в математике?

Гиппократ . Конечно, хотя, мне кажется, в делах ремесленников не требуется слишком много математики. Для большинства подобных задач достаточно знать простые правила, известные еще чиновникам египетских фараонов, и новые открытия, о которых Театет рассказывал мне с таким усердием, совсем не используются и не нужны для практических дел.

Сократ . В одном ты прав, Гиппократ, но в другом ты снова ошибаешься. Возможно, придет время, когда люди из всех математических открытий будут извлекать практическую пользу. То, что сегодня только теория, когда-нибудь сможет приобрести крайнюю необходимость для реальной жизни. Не так ли?

Гиппократ . Меня интересует настоящее.

Сократ . Ты непоследователен, Гиппократ. Если ты хочешь стать математиком, то должен осознать, что будешь работать в большей мере для будущего. А теперь вернемся к главному вопросу. Мы увидели, что познание мира идей, то есть вещей, которые не существуют, в обычном смысле этого слова, может пригодиться в повседневной жизни для ответа на вопросы о реальном мире, Не удивительно ли это?

Гиппократ . Более того, непостижимо! Это действительно чудо.

Сократ . Возможно, это не так уж таинственно, и если мы вскроем сущность этого вопроса, то сможем найти подлинную жемчужину.

Гиппократ . Прошу тебя, дорогой Сократ, не говори загадками, подобно Пифии.

Сократ . Скажи мне в таком случае, удивляет ли тебя, когда кто-то, кто побывал в дальних странах, кто многое видел и многое испытал, возвращается домой и пользуется приобретенным опытом для того, чтобы дать хороший совет своим согражданам?

Гиппократ . Вовсе нет.

Сократ . Даже если страны, которые он посетил, находятся очень далеко и населены совершенно другим народом, разговаривающим на другом языке и поклоняющимся иным богам?

Гиппократ . Нет, даже в этом случае, потому что между разными народами есть много общего.

Сократ . Теперь скажи мне: если бы оказалось, что мир математики, несмотря на его особенности, в некотором смысле подобен нашему реальному миру, ты бы все еще удивлялся, что математика может применяться для изучения реального мира?

Гиппократ . В этом случае нет, но я не вижу никакого сходства между реальным миром и воображаемым миром математики.

Сократ . Ты видишь скалу на другом берегу реки, там, где река расширяется и образует как бы озеро?

Гиппократ . Вижу.

Сократ . А ты видишь отражение скалы в воде?

Гиппократ . Конечно.

Сократ . Тогда скажи, какая разница между скалой и ее отражением?

Гиппокра т. Скала — твердый кусок тяжелого вещества. Она нагревается на солнце. И на ощупь грубая. Отражение нельзя потрогать. Если положить на него руку, то ощутишь только прохладную воду. Па самом деле отражения не существует. Это иллюзия — и ничего больше.

Сократ . Значит, нет ничего общего между скалой и ее отражением?

Гиппократ . В определенном смысле отражение есть точная копия скалы. Контуры скалы, даже самые маленькие ее складки ясно видны в отражении. Но что из того? Неужели ты хочешь сказать, что мир математики — это отражение действительного мира в зеркале нашего мышления?

Сократ . Ты сказал очень хорошо.

Гиппократ . Но как же это возможно?

Сократ . Вспомни, как развивались абстрактные математические понятия. Мы говорили, что математики имеют дело с отвлеченными числами, а не с количествами реальных предметов. Но думаешь ли ты, что тот, кто никогда не считал действительных предметов, может постичь абстрактное понятие числа? Так и в геометрии. Ребенок приходит к понятию шара благодаря общению с круглыми предметами, например с мячами. Все основные математические понятия человечество развило таким же путем. Эти понятия выкристаллизовывались из знаний о реальном мире, и совершенно естественно, что они сохраняют следы своего происхождения, подобно тому как дети сохраняют черты своих родителей. И точно так же как дети, когда они подрастают, становятся поддержкой своих родителей, так и некоторые отрасли математики, если они достаточно разработаны, становятся полезными инструментами в исследовании действительного мира.

Гиппократ . Теперь мне вполне ясно, как познание несуществующих понятий мира математики может быть полезно в повседневной жизни. Ты оказал мне большую услугу, помогая понять это.

Сократ . Завидую тебе, дорогой мой Гиппократ, потому что мне лично хотелось бы кое-что обосновать. Вероятно, ты сможешь помочь мне.

Гиппократ . Я сделаю это с удовольствием, но боюсь, ты снова подшучиваешь надо мной. Не смущай меня просьбой о помощи, а лучше разъясни вопрос, которого я не заметил.

Сократ . Ты и сам увидишь, если попытаешься подвести итоги нашей беседы.