Альфред Реньи - Диалоги о математике

Гиппократ . Твоего свидетельства для меня вполне достаточно, дорогой Сократ. Пусть считается доказанным, что женщина существует. Но что общего у этого факта с математикой?

Сократ . Больше, чем ты думаешь. Скажи мне сначала: знаешь ли ты предание об Агамемноне и Клитемнестре?

Гиппократ . Эту историю знают все. В прошлом году я видел трилогию Эсхила в театре.

Сократ . Расскажи мне ее в нескольких словах.

Гиппократ . Пока Агамемнон, микенский царь, сражался под стенами Трои, его жена Клитемнестра согрешила с Эгистом, двоюродным братом мужа. После падения Трои, когда Агамемнон вернулся домой, Клитемнестра и ее любовник убили его.

Сократ . Скажи мне, Гиппократ, ты уверен, что Клитемнестра виновна?

Гиппократ . Не понимаю, зачем ты задаешь подобный в. опрос? Правдивость этой истории несомненна. Согласно Гомеру, когда Одиссей был в преисподней, он встретил Агамемнона и тот сам рассказал ему о своей печальной судьбе.

Сократ . Но ты уверен, что Агамемнон, Клитемнестра и все остальные персонажи этой трагедии действи :тельио существовали?

Гиппократ . Возможно, меня изгнали бы из общества, если бы я сказал это публично, но мое мнение таково, что по прошествии стольких веков невозможно доказать или опровергнуть правдивость гомеровских поэм. Но это совсем не относится к делу. Когда я сказал тебе, что Клитемнестра виновна, я говорил не о реальной Клитемнестре, если она действительно когда-либо существовала, а о Клитемнестре из поэмы Гомера, Клитемнестре из трилогии Эсхила.

Сократ . Могу ли я сказать, что мы ничего не знаем о реальной Клитемнестре? Даже ее существование сомнительно, но, рассматривая ее как персонаж трагедии Эсхила, мы уверены, что она была вероломна и действительно убила Агамемнона, потому что именно так рассказывает нам Эсхил.

Гиппократ . Согласен. Но к чему ты настаиваешь на этом?

Сократ . Погоди. Сначала подытожим все, что мы выяснили. Невозможно установить, виновна ли жен-щина во крови и плоти, живущая сегодня в Афинах, в то время как несомненно, что персонаж трагедии — Клитемнестра, которой, возможно, вообще не было на свете, виновна. Ты согласен?

Гиппократ . Я начинаю понимать, что ты хочешь сказать. Однако будет лучше, если ты сделаешь выводы.

Сократ . Заключение таково: мы знаем гораздо больше о людях, которые существуют только в нашем воображении, например о персонажах пьес, чем о реально живущих людях. Если мы говорим, что Клитемнестра виновна, то это означает, что так ее изобразил Эсхил в своей пьесе. Подобное положение и в математике. Мы уверены, что диагонали прямоугольника абсолютно одинаковы, потому что это следует из определения прямоугольника, данного математиками.

Гиппократ . Ты имеешь в виду, Сократ, что наш парадоксальный результат действительно правилен и можно иметь значительно более определенные знания о несуществующих вещах, например о математических понятиях, чем о реальных объектах? Мне кажется, теперь я понимаю, отчего так получается. Понятия, которые мы сами создали, известны нам полностью по самой их природе и мы можем о них узнать все, поскольку у них нет иной жизни, кроме как в нашем воображении. А вот объекты, существующие в реальном мире, не тождественны с нашими представлениями о них, поскольку они всегда неполны и приблизительны. Именно поэтому наши знания о действительно существующих вещах никогда не могут быть исчерпывающими или окончательными.

Сократ . Совершенно верно, дорогой мой друг, ты сказал лучше, чем смог бы это сделать я сам.

Гиппократ . Это твоя заслуга, Сократ, потому что ты помог мне понять эти вещи. Теперь я не только вижу, что Театет был совершенно прав, говоря, что я должен изучать математику, если хочу получить надежные знания, но и знаю, почему он был прав. Однако если уж ты так терпеливо разъяснял мне все до сих пор, то, прошу тебя, не покидай меня и теперь, потому что один мой вопрос, пожалуй наиболее важный, еще остался без ответа.

Сократ . Какой вопрос?

Гиппократ . Вспомни, Сократ, что я пришел просить твоего совета, должен ли я изучать математику. Ты помог мне попять, что математика и только математика может дать те основательные знания, которые я хотел бы иметь. Но какая польза от этих знаний? Ясно, что если получить некоторые знания о реальном мире, хотя бы неполные и не вполне определенные, то их значение будет несомненно и для отдельного человека и для страны в целом. Даже изучение звезд полезно, например, для мореплавателей. Но какая польза от изучения несуществующих предметов, которым как раз и занимается математика?

Сократ . Дорогой мой друг, я уверен, что ты знаешь ответ и только хочешь проверить меня.

Гиппократ . Клянусь Гераклом, я не знаю ответа. Помоги мне, прошу тебя.

Сократ . Согласен. Попытаемся найти его. Мы уже убедились, что математические понятия создаются самими математиками. Но выбирает ли математик эти понятия произвольно, как ему хочется?

Гиппократ . Я уже говорил тебе, что еще недостаточно знаю математику. Но мне кажется, математик гак же свободен в выборе объектов своего исследования, как поэт в выборе персонажей своих пьес, и как поэт наделяет своих персонажей чертами, которые ему приятны, так и математик вкладывает в понятия такие свойства, какие ему хочется.

Сократ . Но тогда существовало бы столько же математических истин, сколько самих математиков Как же ты объяснишь в таком случае то обстоятельство, что все математики изучают одни и те же понятия и проблемы? И почему нередко математики, живущие далеко один от другого и даже не знающие друг друга, открывают одни и те же истины и изучают одни и те же понятия? Если они говорят о числах, то имеют в виду одни и те же числа, а прямые, круги, квадраты, шары и правильные тела одинаковы для всех.

Гиппократ . Нельзя ли объяснить это тем, что все люди мыслят одинаковым образом и поэтому одни и те же вещи они представляют одинаково?

Сократ . Дорогой Гиппократ, мы получим удовлетворительное объяснение не раньше, чем рассмотрим предмет обсуждения со всех точек зрения. Как объяснить те нередкие факты, когда математики, живущие далеко друг от друга, скажем один в Тарепте, а другой на острове Самос, открывают одну и ту же истину, даже не зная один другого? И в то же время я никогда не слышал, чтобы два поэта написали одну и ту же поэму.

Гиппократ . Ия никогда не слышал об этом. Но вспоминаю, что Театет рассказывал мне об очень интересной открытой им теореме о несоизмеримых величинах. Он показал теорему своему учителю Теодору, а тот в свою очередь вытащил письмо от Архитаса, где было изложено то же доказательство, почти слово в слово.