Альфред Реньи - Диалоги о математике

Гиппократ . Это доказывает твою мудрость, Сократ. Но для меня этого недостаточно. Я очень хочу получить вполне определенные и основательные знания, и я не буду счастлив, пока не добьюсь своего. Я постоянно размышляю над природой знаний, которыми пытаюсь овладеть. А совсем недавно Театет сказал, что определенное существует только в математике, и посоветовал мне изучать математику у его учителя Теодора, самого сведущего специалиста по теории чисел и геометрии в Афинах. Мне не хотелось бы повторить ту же ошибку, когда я намеревался стать учеником Протагора. Поэтому скажи мне, Сократ, получу ли я глубокие знания, которые ищу, если стану изучать математику у Теодора?

Сократ . Если ты хочешь изучать математику, о сын Аполлодора, то определенно не сможешь сделать ничего лучшего, чем пойти к моему уважаемому другу Теодору. Но ты должен решить, действительно ли хочешь изучать математику. Никто не может знать твоих желаний лучше, чем ты сам.

Гиппократ . Почему ты отказываешься помочь мне, Сократ? Может быть, я неумышленно обидел тебя, не заметив этого?

Сократ . Ты не так понял меня, мой юный друг. Я не сержусь, но ты просишь меня о невозможном. Каждый должен решить самостоятельно, чем он хочет заниматься. Я могу лишь помочь, подобно акушерке, при рождении твоего решения.

Гиппократ . Прошу тебя, не отказывай мне, дорогой Сократ, и, если ты сейчас свободен, начнем беседу немедля.

Сократ . Ну хорошо, если ты так настаиваешь. Укроемся под тенью того платана и начнем. Но прежде скажи, согласен ли ты вести беседу способом, который я предпочитаю? Я буду задавать вопросы, а ты отвечать на них. В результате ты яснее поймешь, что ты уже постиг, а от этого расцветут семена знаний, имеющиеся в твоей душе. Я надеюсь, ты не уподобишься царю Дарию, который убил управляющего рудниками за то, что тот из медного рудника добыл только медь, а не золото, как желал царь. Я надеюсь, ты всегда будешь помнить, что из рудника можно извлечь только то, что он содержит.

Гиппократ . Клянусь, что не стану ничем тебя попрекать, но, ради Зевса, начнем немедленно.

Сократ . Согласен. Только ответь мне, знаешь ли ты, что такое математика? Надеюсь, ты сумеешь дать определение математики, если намереваешься изучать ее.

Гиппократ . Думаю, что любой ребенок мог бы это сделать. Математика — одна из наук, и притом одна из самых прекрасных.

Сократ . Я просил тебя описать сущность математики, а не восхвалять ее. Быть может, ты лучше поймешь, что я хочу выяснить, если мы рассмотрим какую-нибудь другую науку, хотя бы медицину. Вот если бы я спросил тебя об искусстве врачевания, ты бы ответил, что оно имеет дело со здоровьем и болезнью. И цель его — лечить больных и охранять здоровых. Не так ли?

Гиппократ . Ты прав.

Сократ . О том, как распознавать и лечить болезни, знают только врачи, да и им известно еще слишком мало. Но задача медицины и состоит как раз в том, чтобы узнать обо всем этом. А с математикой не обстоит ли дело иначе?

Гиппократ . В таком случае прошу тебя, объясни мне различие, так как я не вижу его отчетливо.

Сократ . Тогда ответь мне: искусство врачевания имеет дело с тем, что существует, или с тем, чего нет? Если бы не было врачей, то были бы болезни?

Гиппократ . Конечно, и даже больше, чем сейчас.

Сократ . Взглянем теперь на другое искусство, хотя бы на астрономию. Ты согласен с тем, что астрономы изучают движения звезд?

Гиппократ . Я уверен в этом.

Сократ . А если я спрошу тебя, имеют ли дело астрономы с тем, что существует, что ты ответишь?

Гиппократ . Я отвечу — да.

Сократ . А существовали бы звезды, если бы не было астрономов?

Гиппократ . Конечно. И даже если бы Зевс в гневе истребил все человечество, звезды все равно сияли бы в небе. Но почему мы говорим об астрономии, а не о математике?

Сократ . Не будь таким нетерпеливым, дорогой друг. Давай обсудим несколько других искусств, чтобы иметь возможность сравнить их с математикой. Как бы ты назвал человека, который знает все о живых существах, обитающих в лесах и в глубинах морей?

Гиппократ . Это ученый, изучающий живую природу.

Сократ . И ты согласен, что такие ученые изучают только те вещи, которые существуют?

Гиппократ . Согласен.

Сократ . А как ты назовешь человека, который интересуется горными породами и знает, какие из них содержат железо?

Гиппократ . Знаток минералов.

Сократ . Занимается ли он вещами, которые существуют, или же тем, чего на самом деле нет?

Гиппократ . Само собой разумеется, вещами, которые существуют.

Сократ . Можем ли мы теперь утверждать, что каждая наука занимается теми вещами, которые существуют?

Гиппократ . Кажется, это так.

Сократ . Теперь скажи мне, юный друг, что является объектом изучения математики? Какие вещи изучают математики?

Гиппократ . Я спрашивал об этом Театета. Он ответил, что математик изучает числа и геометрические формы.

Сократ . Ответ верный и нельзя найти лучшего, но можем ли мы утверждать, что числа и формы существуют?

Гиппократ . Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

Сократ . Ты прав. Но вот что меня смущает. Возьмем, например, простые числа. Существуют ли они так же, как звезды или рыбы? Существовали бы простые числа, если бы не было математиков?

Гиппократ . Я начинаю понимать, чего ты хочешь. Все не так просто, как я предполагал, и должен сознаться, что я не знаю, как надо ответить на твой вопрос.

Сократ . Поставим вопрос несколько иначе: считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?

Гиппократ . Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

Сократ . Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?

Гиппократ . Не знаю, что и ответить. Ясно, что, если математики думают о простых числах, значит, они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть и простых чисел.

Сократ . Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?

Гиппократ . Пожалуй, мы должны допустить это.

Сократ . Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?

Гиппократ . Вполне.

Сократ . Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?

Гиппократ . Да.

Сократ . И можешь дотронуться до него рукой?