Альфред Реньи - Диалоги о математике

Синьора Никколини . Что вы имеете в виду?

Галилей . Представьте себе новые звезды, которые однажды, например 60 лет назад, вдруг появляются на небе. В течение нескольких лет они светят ярче и ярче, а затем вдруг исчезают так же неожиданно, как и появились. Вспомните о солнечных пятнах, которые вращаются вокруг Солнца вблизи его поверхности. Иногда они растут, иногда уменьшаются, появляются, кружатся и исчезают. Вселенная не похожа на механизм ни в каком отношении. Иногда она более походит на непостоянную, капризную женщину.

Синьора Никколини . Мне кажется, в книге природы некоторые главы должны быть написаны не математическим языком, потому что в них идет речь о событиях, которые нельзя предсказать.

Галилей . Вы ошибаетесь, синьора, но до сих пор были предприняты только первые шаги к математическому описанию случайностей, хотя сделать это возможно, как я уже показал совсем недавно на очень простом примере.

Синьора Никколини . На каком же?

Галилей . Игра в кости стара, но все еще популярна. Как упадет игральная кость, полностью зависит от случая. Если стороны игральной кости помечены числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, то, бросая ее, мы можем с уверенностью сказать только то, что число, которое мы увидим, будет одним из этих шести. Но многократно бросая игральную кость, мы наблюдаем определенную закономерность — каждое из шести чисел будет появляться приблизительно одно и то же число раз. Но еще более интересно, если мы бросим две игральные кости одновременно и сложим числа, которые откроются. Чего тут можно ожидать?

Синьора Никколини . Совершенно ясно — сумма может быть любым числом от 2 до 12.

Галилей . Да, но эти 11 возможностей случаются не одинаково часто. Чаще всего будет получаться число 7, около одной шестой от всех бросков, затем 6 и 8 — каждое будет получаться около пяти тридцать шестых от всех бросков; 5 и 9 будут составлять одну девятую от всех бросков, 4 и 9 — одну двенадцатую часть, а 3 и 11 — одну восемнадцатую. Наконец, суммы 2 и 12 составляют одну тридцать шестую от всех бросков.

Синьора Никколини . Странно. Почему так получается?

2=1+1

3=1+2=2+1

4=1+3=2+2=3+1

5=1+4=2+3=3+2=4+1

6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1

7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1

8=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2

9=3+6=4+5=5+4=6+3

10=4+6=5+5=6+4

11=5+6–6+5

12=6+6

Галилей . Причина очень проста. Мы можем получить в сумме четыре тремя путями, а именно как сумму трех и одного, например если первая игральная кость покажет три, а вторая один, или наоборот, а также как сумму двух и двух. Но сумму двенадцать мы можем получить только тогда, когда обе игральные кости показывают шесть. Поэтому четыре будет получаться в три раза чаще, чем двенадцать .

Синьора Никколини . Когда-нибудь я попытаюсь сыграть в кости по вашему правилу. Вы полагаете, что, зная все это, можно выиграть много денег?

Галилей . Игра остается игрой, если правила установлены так, что ни один игрок не может оказаться в более благоприятной ситуации, чем другие. Но, когда правила установлены неверно, можно выиграть много, если есть деньги, чтобы играть до тех пор, пока законы случая не станут тебе благоприятствовать.

Синьора Никколини . Никогда не думала, что математика — основа даже для игры в кости. Как называется эта отрасль математики?

Галилей . Она так молода, что у нее нет имени. Ее можно было бы назвать исчислением вероятностей.

Синьора Никколини . Почему я об этом еще не слышала?

Галилей . Математики привыкли заниматься тем, что закономерно и точно, и до сих пор избегали случайностей; казалось, это не их область. Авторитет Аристотеля поддерживал направление, согласно которому математика должна иметь дело с чем-то неизменяемым. А что более причудливо изменяется, чем случай? Но есть еще и другие, более старые предрассудки. Это старинный обычай видеть в случайных событиях — в бросании игральной кости, полете птиц, неправильной форме печени жертвенного животного — проявление божественной воли. И все это было причиной священного испуга на лицах людей при встречах со случайными событиями. Большинство из них считали почти богохульством пытаться объяснить такие события при помощи человеческого разума. Однако моя точка зрения — человек имеет разум, чтобы использовать его.

Синьора Никколини . Мне нравится способность математики — хотя я знаю только то, что слышала от вас, — делать самые сложные вещи простыми; при свете факела математической истины многие вещи, которые были трудны и непонятны, становятся ясными и простыми.

Галилей . Это верно. Но я должен сказать, что иногда математика обнаруживает, что вещи, кажущиеся простыми, на самом деле очень сложны.

Синьора Никколини . Что вы имеете в виду, учитель?

Галилей . Я приведу вам только один очень простой пример. Напишем на этом листе целые числа от нуля и далее: 0, 1, 2, 3…. Представим, что ряд продолжается до бесконечности. Теперь отметим среди них квадраты чисел. Вы видите, что по мере продвижения слева направо мы встречаем все меньше квадратов, потому что расстояния между ними становятся все больше.

Синьора Никколини . В самом деле, расстояния— нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9….

Галилей . Похоже на расстояния, которые проходит падающий камень. Но скажите, прав ли я, утверждая, что квадратов в этом ряду меньше, чем чисел вообще?

Синьора Никколини . Конечно.

Гал ил ей. Тогда напишем снова ряд целых чисел и под каждым — его квадрат. Во второй строке только квадраты целых чисел, не так ли, и каждый встречается лишь однажды?

Синьора Никколини . Да.

Галилей . Числа стоят друг под другом, и потому в нижней строке столько же чисел, сколько в верхней. Вы все еще утверждаете, что квадратов чисел меньше, чем чисел вообще?

0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16. .

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256..

Синьора Никколини . Этот пример окончательно сбил меня с толку. В чем здесь дело?

Галилей . Суть в следующем: то, что верно для конечных множеств, не обязательно верно для бесконечных … Зепон уже давно это заметил — помните его парадокс «Стадий»? Он знал, что можно спроецировать точки отрезка ВС' из точки А на больший отрезок ВС так, что каждой точке Р' малого отрезка будет соответствовать точка Р большого отрезка. Только он не знал, что этот парадокс тоже связан с целыми числами.

Синьора Никколини . Таким же образом можно показать, что в общем четных чисел столько же, сколько целых, несмотря на то что только каждое второе из целых чисел есть четное.