Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Николай I (1687–1759)

Занял кафедру Галилея в Падуе. Написал труды по геометрии и дифференциальным уравнениям. Позже преподавал логику и право. Одаренный, но не слишком продуктивный математик. Вел переписку с Лейбницем, Эйлером и другими выдающимися учеными: его главное наследие – около 560 писем. Сформулировал Санкт-Петербургский парадокс в теории вероятностей.

Критиковал использование Эйлером расходящихся рядов. Способствовал посмертной публикации труда Якоба Бернулли «Искусство предположений». Поддерживал Лейбница в его противостоянии с Ньютоном.

Николай II (1695–1726)

Был приглашен преподавать в академии Санкт-Петербурга и утонул восемь месяцев спустя. Дискутировал с Даниилом по поводу Санкт-Петербургского парадокса.

Даниил (1700–1782)

Самый известный из трех сыновей Иоганна. Работал с теорией вероятностей, астрономией, физикой и гидродинамикой. Его труд «Гидродинамика» 1738 г. содержит описание закона Бернулли – связи между давлением и скоростью. Исследовал морские приливы, кинетическую теорию газов и колебание струн. Пионер в исследовании дифференциальных уравнений с частными производными.

Иоганн II (1710–1790)

Младший из трех сыновей Иоганна. Изучал право, но стал профессором математики в Базеле. Работал над математической теорией света и тепла.

Иоганн III (1744–1807)

Как и его отец, изучал право, но в итоге обратился к математике. В 19 лет был приглашен в Берлинскую академию наук. Автор трудов по астрономии, теории вероятностей и периодическим десятичным дробям.

Якоб II (1759–1789)

Автор важных работ по теории упругости, гидростатике и баллистике.

График функции f ( x ) = x 2оказывается параболой. График функции квадратного корня f ( x ) = √ x образует половину параболы, которая «лежит на боку». Чем сложнее функция, тем сложнее описывающее ее уравнение. График функции синуса с уравнением y = sin x – волнообразная кривая.

График функции f

Координаты – одна из тех простых идей, которые заметно изменили нашу жизнь. Мы используем их повсеместно, как правило, не отдавая себе в этом отчета. По сути, все графики в компьютере используют внутреннюю систему координат, а геометрия, демонстрируемая на экране, задана алгеброй. Даже такая простая операция, как поворот фотографии на несколько градусов, чтобы выровнять линию горизонта, основана на геометрии координат.

Графики квадратичной функции и функции квадратного корня

Еще более важное послание от геометрии координат связано с перекрестными связями в математике. Концепция, чья физическая реализация выглядит совершенно иной, может оказаться просто иным аспектом одного и того же объекта. Первое впечатление порой обманчиво. Математика оказалась настолько эффективной во многом потому, что стала способом взглянуть на привычные явления с точки зрения их восприимчивости к новым идеям, переходящим из одной области науки в другую. Математика незаменима для обмена технологиями. И именно перекрестные связи, впервые открытые еще 4000 лет назад, сделали математику таким всеобъемлющим, уникальным предметом.

График функции синус

Геометрия координат может применяться на поверхностях более сложных, чем плоскость, например на сфере. Нам хорошо знакома такая система координат на ней, как долгота и широта. Вся картография, а также использование карт в навигации могут рассматриваться как практическое приложение геометрии координат.

Для капитанов главной проблемой навигации было определение широты и долготы, на которых оказался их корабль. С широтой обстояло немного проще: угол подъема солнца над горизонтом зависит от нее и может быть подсчитан. С 1730 г. стандартным инструментом для определения широты был секстант (в наши дни практически вытесненный из обихода системой GPS). Его изобрел Ньютон, но не опубликовал свое открытие. И его самостоятельно заново открыли двое: английский математик Джон Хэдли и американский изобретатель Томас Годфри. До той поры мореходы пользовались только астролябией, которая восходит к арабскому Средневековью.

Долгота и широта в качестве координат

Долгота – более коварная координата. Но проблему в итоге удалось решить при помощи высокоточных часов, выставленных на местное время в начале плавания. Время восхода и захода солнца, а также движение луны и звезд, зависящие от долготы, позволяли определить ее путем сравнения местного времени и того, что показывают часы. История изобретения Джоном Харрисоном хронометра, решившего проблему, изложена в известной книге Давы Собел «Долгота».

Мы по-прежнему используем координаты на картах, но еще одним примером активного применения стали графики колебаний цен на рынке ценных бумаг, где все изменения изображаются в виде кривой. Здесь по оси х отложено время, а по оси у – цена. Трудно перечислить все виды финансовых и научных данных, отображаемых таким способом.

Данные рынка ценных бумаг, представленные в системе координат

Несмотря на увлечениегеометрией, математики никогда не теряли интереса к числам. Они стали задавать всё более сложные вопросы и на многие из них нашли ответы сами. Ряд вопросов удалось решить позже благодаря новым методам. А некоторые остались нерешенными по сей день.

Числа всегда нас завораживали. Понятные, незатейливые, 1, 2, 3, 4, 5… Кажется, что может быть проще? Но под этой внешней простотой таятся неведомые глубины, и большинство неприступных вопросов в математике касаются самых очевидных свойств целых чисел. Эта область известна как теория чисел, и на поверку она оказалась очень сложной, поскольку ее составляющие касаются самых основ науки. Как раз простота целых чисел и оставляет так мало возможностей для сложных методов.

Самые первые шаги в теории чисел – которые доказаны фактами, а не одними предположениями – обнаруживаются в трудах Евклида, где эти идеи слегка завуалированы под геометрию. Теория чисел была выделена в отдельную область математики древним греком Диофантом, отрывки работ которого дошли до нас в более поздних списках. Теория чисел пережила период бурного развития в 1600-х гг., а благодаря работам Ферма и дальнейшим разработкам Леонарда Эйлера, Жозефа-Луи Лагранжа и Карла Фридриха Гаусса она превратилась в обширную самостоятельную область математики, тесно связанную со многими науками, на первый взгляд не имеющими к ней отношения. Именно эта связь была использована в конце ХХ в. для ответа на многие – хоть и не все – древние загадки, включая самую известную и интригующую: предположение Ферма, сформулированное им около 1650 г. и известное как Великая теорема (или Последняя теорема).