Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Метод Ньютона для численного решения уравнения

Вычислительные машины выполняли не только простые арифметические действия, поскольку многие научные расчеты могут быть численно реализованы как длинный ряд арифметических операций. Один из первых численных методов, позволявших решать уравнения с достаточно высокой точностью, был изобретен еще Ньютоном и стал известен как метод Ньютона . Он решает уравнение f ( x ) = 0 с помощью вычисления ряда последовательных приближений к решению, где каждое следующее уточняет предыдущее, но основано на нем. От некоего начального предположения, обозначим его как х 1, улучшаем наши приближения корней x 2, x 3, …, x n, x n + 1согласно формуле:

где f ´ – производная от f . Метод основан на геометрии кривой y = f ( x ) рядом с решением. Точка x n + 1находится там, где касательная прямая к точке x nпересекается с осью X . Как показано на графике, она ближе к решению – точке x , чем исходная точка.

Августа Ада была дочерью поэта лорда Байрона и Анны Милбенк. Ее родители расстались через месяц после рождения девочки, и она больше никогда не видела отца. Ребенком она уже показала способности к математике; в отличие от своих современников, леди Байрон сочла это отличным упражнением для развития ума своей дочки и поощряла ее в этом увлечении. В 1833 г. Ада познакомилась с Чарльзом Бэббиджем на званом обеде, и очень скоро, побывав на демонстрации его прототипа аналитической машины, девушка нашла ее восхитительной и моментально разобралась в ее устройстве. Она стала графиней Лавлейс, когда в 1838 г. ее муж получил титул графа.

В 1843 г. к своему переводу статьи Луиджи Менабреа «Заметки об аналитической машине Чарльза Бэббиджа» Ада добавила небольшое приложение, впоследствии ставшее образцом программ, разработанных ею собственноручно. Она писала, что «отличительной особенностью аналитической машины… является использование в ней принципа управления с помощью перфокарт, изобретенного Жаккардом для изготовления самых сложных узоров для парчовых тканей. Можно сказать, что аналитическая машина сплетает алгебраические формулы так же, как ткацкий станок Жаккарда – цветы и листья».

В 36 лет у женщины развился рак матки, и после долгих мучений она умерла от кровопускания на руках у своих врачей.

Вторым важным приложением численных методов стало решение дифференциальных уравнений. Предположим, мы решаем уравнение

и нам дано, что x = x 0в момент времени t = 0. Согласно Эйлеру, простейший способ – аппроксимация dx / dt с помощью

где ε очень мала. Тогда аппроксимация дифференциального уравнения принимает вид:

x ( t + ε) = x ( t ) + ε f ( x ( t )).

Начиная с x (0) = x 0мы последовательно найдем значения f (ε), f (2ε), f (3ε) – в общем, f ( n ε) для любого целого n > 0. Обычное значение ε, скажем, 10 –6. Миллион итераций (повторов) формулы покажет x (1), следующий миллион x (2) и т. д. Для современных компьютеров миллион вычислений – пустяк, и это уже вполне практичный метод.

Однако метод Эйлера оказался слишком прост для ученых, и пришлось изобрести множество улучшений. Самым известным стал целый класс методов Рунге – Кутты, названный в честь немецких математиков Карла Рунге и Мартина Кутты, впервые предложивших их в 1901 г. Один из них, так называемый метод Рунге – Кутты четвертого порядка, широко используется в инженерии, прикладной и теоретической математике.

Нужды современной нелинейной динамики породили несколько сложнейших методов, позволяющих избежать накопления ошибок даже в длительных временн ы х периодах, которые сохраняют определенную структуру, связанную с точным решением. Например, в механической системе без трения полная механическая энергия сохраняется. И есть возможность настроить численный метод так, чтобы на каждом шагу энергия сохранялась точно . Такая процедура исключает риск, что вычисленное решение будет мало-помалу отклоняться от точного, подобно тому как маятник постепенно останавливается, теряя энергию.

Ньютону не только пришлось разобраться в природе вычислений – ему удалось изобрести эффективные методы вычислений. Он широко внедрил степенн ы е ряды для описания функций, потому что научился дифференцировать и интегрировать эти ряды одно выражение за другим. Он также использовал их для вычисления значения функций, создав один из ранних численных методов, который используется до сих пор. На одной из страниц его манускриптов, датируемой 1665 г., показано численное определение площади под гиперболой, которую мы теперь распознаем как логарифмическую функцию. Он исследовал свойства бесконечных рядов, вычислив их суммы с поразительной точностью, до 55-го десятичного знака после запятой.

Ньютоновский расчет площади под гиперболой

Более сложные структуры – симплектические интеграторы, с помощью которых решаются дифференциальные уравнения механических систем с высокой точностью, сохраняя симплектическую структуру гамильтоновых уравнений. Это любопытная, но чрезвычайно важная разновидность геометрии, адаптированная для двух типов переменных, положения и импульса. Симплектические интеграторы особенно важны для исследований небесной механики, где – например – астрономы могут захотеть отследить движения планет Солнечной системы на протяжении миллиардов лет.

Используя симплектические интеграторы, Джек Уиздом, Жак Ласкар и другие ученые показали, что в длительных временн ы х периодах поведение Солнечной системы хаотично, Уран и Нептун были гораздо ближе к Солнцу, чем сейчас, и в настоящее время орбита Меркурия смещается в сторону Венеры, так что одна из этих планет в итоге может оказаться вытесненной из Солнечной системы. Только симлектические интеграторы дают нам достаточную уверенность в том, что результаты для такого длительного промежутка точны.