Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Пуанкаре был твердо намерен получить эту премию, и для начала он решил упростить задачу, рассмотрев движения трех небесных тел. Уравнения для трех тел были не намного сложнее, чем для двух, и почти не отличались по форме. Однако разминка с тремя телами оказалась на поверку крепким орешком и привела к весьма тревожному открытию. Решения таких уравнений оказались совершенно не похожи на решения для двух тел. Они были настолько сложными, что для них не удавалось записать математические формулы. Более того, Пуанкаре достаточно хорошо разбирался в геометрии – а именно в топологии – этих решений, чтобы доказать без тени сомнений, что движения, представленные в этих решениях, могут время от времени становиться беспорядочными и нерегулярными. «Можно только поражаться, – писал он, – сложностью этого рисунка, который я даже не дерзаю попытаться изобразить. Ничто не может сильнее убедить нас в величайшей сложности проблемы трех тел». Сейчас эта сложность считается классическим примером хаоса.

Джун Барроу-Грин, изучавшая архивы Института Миттаг-Леффлера в Стокгольме, недавно раскопала скрытую до поры довольно неприятную историю. В работе Пуанкаре, получившей когда-то королевскую премию, содержалась серьезная ошибка. Вопреки всеобщему мнению, ученый был далек от открытия хаоса, напротив, заявлял, будто доказал, что такового не существует. В оригинале его работы есть доказательство того, что все движения в задаче о трех телах регулярны и предсказуемы.

Уже получив премию, Пуанкаре запоздало обнаружил свою ошибку и тут же понял, что она полностью дискредитирует его доказательство. Но удостоенная награды статья уже была опубликована в одном из номеров институтского журнала. Номер успели изъять, и Пуанкаре за свой счет перепечатал его – уже с описанием гомоклинических петель, которые мы сейчас называем хаосом. Это обошлось ему в значительно б о льшую сумму, чем премия. Удалось отозвать практически все экземпляры ошибочной версии работы, но одна ускользнула из его сетей и сохранилась в архиве института.

Его работа получила премию короля Оскара II, хотя в ней и не было окончательного решения проблемы. Примерно 60 годами позже она стала важнейшим толчком для изменения наших взглядов на Вселенную и ее связь с математикой.

В 1926–1927 гг. голландский инженер Балтазар ван дер Пол сконструировал электронную схему для создания математической модели сердца и обнаружил, что в определенных условиях возникающие колебания становятся не периодическими, как полагается сердцу, а нерегулярными. Его работа получила солидное математическое обоснование во время Второй мировой войны в исследовании Джона Литлвуда и Мэри Картрайт, посвященной радарам. Но прошло еще 40 лет, прежде чем стало ясно истинное значение этих открытий.

В начале 1960-х гг. американский математик Стивен Смэйл открыл новую эру в теории динамических систем, собравшись разработать полную классификацию типичных образцов поведения электронных схем. Изначально ожидая получить в ответе некие комбинации периодических движений, он очень быстро понял, что здесь возможно гораздо более сложное поведение. В частности, он развил открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, создав упрощенную геометрию для описания системы, получившей название подковы Смэйла. Он доказал, что система подковы, хоть и детерминированная, обладает некоторыми случайными чертами поведения. Другие примеры подобных явлений были открыты представителями американской и советской школ теоретических динамических систем. Самый значительный вклад внесли Александр Шарковский и Владимир Арнольд, благодаря чему появилась общая теория. Термин «хаос» предложили Джеймс Йорк и Тьен-Йен Ли в 1975 г. в краткой статье, упростившей один из результатов советской школы – теорему Шарковского (1964) с описанием любопытной закономерности в периодических решениях дискретной динамической системы – той, где время движется отдельными шагами, а не непрерывно.

Тем временем описания хаотичных систем то и дело появлялись в научной литературе – и снова были сильно недооценены научным сообществом. Самое известное из них дал в 1963 г. метеоролог Эдвард Лоренц. Он создал модель атмосферной конвекции, аппроксимировав очень сложные уравнения для этого явления с помощью более простых с тремя переменными. Решая их численно на компьютере, он открыл, что решение колебалось нерегулярным, почти случайным образом. Он также открыл, что если те же самые уравнения решались с использованием исходных значений переменных, отличавшихся друг от друга незначительно, разница в решениях увеличивалась, пока они не становились абсолютно разными. Его описание для этого явления в последующих лекциях открыло очень популярную в настоящее время тему – эффект бабочки, когда взмаха крыльев бабочки оказалось достаточно, чтобы через месяц из-за него разразился ураган на другой стороне планеты.

Аттрактор Лоренца

Этот жутковатый сценарий вполне возможен, хотя и с малой вероятностью. Предположим, вы могли бы повлиять на погоду дважды: один раз с бабочкой и второй – без нее. Тогда вы действительно получите значительные различия, и вполне возможно, что в первом случае это будет ураган, а во втором обойдется без него. Понятно, что этот эффект был получен при компьютерном моделировании уравнений, обычно используемых для предсказаний погоды, где он способен создать большие проблемы. Но было бы ошибкой считать, что бабочка и есть причина урагана. В реальном мире погоду формирует не одна бабочка, а статистические особенности триллионов бабочек – не считая иных неуловимых факторов. И только все вместе они определяют, когда и где зародится очередной ураган и куда он двинется.

Используя методы топологии, Смэйл, Арнольд и их коллеги доказали, что странные решения, смущавшие Пуанкаре, оказываются неизбежным следствием странных аттракторов в уравнениях. Странный аттрактор – запутанное движение, к которому система неизбежно приходит. Его можно наглядно представить в виде очертаний в пространстве состояний (которое отражает изменение состояний системы), образованном переменными, которые описывают систему. Аттрактор Лоренца, описывающий уравнения Лоренца, немного похож на маску Одинокого рейнджера, только каждая из ее кажущихся поверхностей имеет бесконечно много слоев.

Сама структура аттракторов объясняет любопытную особенность хаотичных систем: они предсказуемы в кратком периоде (в отличие, например, от бросков костей), но непредсказуемы в длительном. Почему невозможно несколько краткосрочных предсказаний объединить вместе для создания долгосрочного? Потому что точность, с которой мы можем описать хаотичную систему, размывается со временем, и чем дальше, тем быстрее, и возникает такой горизонт для предсказаний, за который мы не в состоянии заглянуть. Тем не менее система остается на том же странном аттракторе – хотя ее траектория вдоль аттрактора существенно меняется.