Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Проблему «P = NP?» усугубляет загадочный феномен, получивший название NP-полной задачи. Многие задачи NP таковы, что если они действительно сводятся к классу P, то и любая другая задача из NP сводится к классу P. Такая задача и называется NP-полной . Если для конкретной NP-полной задачи может быть доказано, что она является P, то P = NP. А если для некоторой NP-полной задачи может быть доказано, что она не-P, то P – не то же, что NP. Одной из NP-полных задач, недавно привлекшей внимание ученых, была задача, связанная с популярной компьютерной игрой «Сапер». В математической интерпретации она известна как задача выполнимости булевых формул: есть некое высказывание математической логики; будет ли оно истинным, если присвоить значения «истина» или «ложь» ее переменным?

Математика – далеко не одни вычисления, хотя они являются неотъемлемой частью более концептуальных исследований. С ранних времен математики не прекращали поиск механических приспособлений, способных освободить их от скучных, рутинных вычислений и повысить точность полученных результатов. Ученые прошлого позавидовали бы нашему доступу к электронным компьютерам и подивились бы их скорости и точности.

Вычислительные машины – не просто «обслуживающий персонал» для математиков. Их проектирование и работа с ними поставили перед учеными новые теоретические вопросы. Последние варьируют от обоснования приближенных численных методов решения уравнений до более глубоких аспектов основ вычислений.

К началу XXI в. математики получили доступ к мощному программному оборудованию, позволяющему совершать не только численные расчеты, но и алгебраические и даже аналитические. Эти инструменты открывают новые области, помогают решить давние проблемы и освободить время для глубоких теоретических раздумий. В результате сама математика стала богаче как наука, а ее применение на практике заметно расширилось. У Эйлера было всё теоретически необходимое для изучения протекания потока вокруг сложных форм, и хотя в то время еще не было изобретено воздухоплавание, ученые исследовали многие занимательные вопросы, относящиеся к водным судам. Но у него не было практических методов для полноценной технической реализации своих задумок.

Еще один аспект развития, пока не упоминавшийся на этих страницах, – использование компьютеров для помощи в поиске доказательств. Несколько важных теорем, доказанных недавно, требовали огромного объема рутинных вычислений, легко выполненных компьютерами. Есть мнение, что доказательства, полученные с помощью компьютеров, искажают саму фундаментальную природу доказательства, противореча условию, что оно может быть проверено только человеческим разумом. Это утверждение противоречиво, но даже если оно истинно, плоды технического прогресса в любом случае превратили математику в еще более надежного помощника человеческой мысли.

К середине XX в.математика вступила в фазу стремительного роста благодаря ее активному применению на практике и появлению новых мощных методов. Достоверная история современной математики займет не меньше места, чем перечисление всех ее предшествовавших достижений. Остается выбрать лишь самые выразительные примеры, чтобы показать, что математики по-прежнему отличаются оригинальностью и творческим мышлением. Одной из таких тем, привлекавших пристальное внимание широкой публики в 1970–1980-х гг., является теория хаоса (так называют СМИ нелинейную динамику). Другая тема – сложные системы, требующие менее ортодоксального образа мышления и рождающие не только новые разделы математики, но и новые области науки.

Вплоть до 1960-х гг. у слова «хаос» было лишь одного значение – бесформенный беспорядок. Но с того времени открытия в фундаментальных науках и математике наделили его вторым, более отвлеченным значением: сочетание аспектов беспорядка с аспектами формы. Ньютоновские «Начала» упростили систему мира до дифференциальных уравнений, и это был детерминизм Нового времени. Подразумевалось, что если известно исходное состояние системы, ее будущее определено однозначно и навсегда. С точки зрения Ньютона, Вселенная работала как часы, приведенные в движение рукой творца и с тех пор идущие по одному неизбежному пути. Такой подход не оставлял пространства для свободы воли, и в нем могла крыться одна из причин ранних убеждений, что наука – нечто холодное и даже бесчеловечное. Но эта же точка зрения хорошо послужила человечеству, дав нам радио, телевидение, радары, мобильные телефоны, воздушные перевозки, спутники связи, искусственные волокна, пластмассы и компьютеры.

Рост научного детерминизма сопровождался смутной, но глубоко укоренившейся верой в сохранение сложности. Привычное убеждение, что простые причины должны рождать простые эффекты, предполагает, что у сложных эффектов наверняка есть не менее сложные причины. Из-за этого убеждения при взгляде на сложный объект или систему в нашем мире мы сразу начинаем гадать, откуда взялась такая сложность. В чем причины, например, сложности жизни в целом, если исходить из того, что она появилась на мертвой планете? Мы очень редко догадываемся, что сложность может появиться сама по себе, но именно это показывают нам новейшие математические методы.

Детерминированность законов физики следует из простого математического факта: для любого дифференциального уравнения с заданными начальными условиями существует не более одного решения. В романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике» суперкомпьютер Думатель на протяжении пяти миллионов ведет вычисления ради ответа на великий вопрос жизни, Вселенной и всего сущего и с триумфом получает ответ: 42. Этот эпизод – пародия на знаменитое утверждение, в котором Лаплас выразил математическую точку зрения на детерминизм.

Разум, который для какого-то данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, объял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами.

И тут же он одной фразой обрушивает читателей с небес на землю:

Человеческий разум способен представить лишь бледную тень этого совершенного замысла, наблюдаемого в астрономии.

Ирония в том, что именно изучение небесной механики, всегда считавшейся самой детерминированной областью физики, и положило конец жесткому детерминизму Лапласа. В 1886 г. король Швеции Оскар II (правивший также в Норвегии) объявил награду за решение задачи устойчивости Солнечной системы. Будет ли наш клочок великого часового механизма Вселенной тикать вечно, либо какой-то планете суждено рухнуть на Солнце или вовсе убежать в межзвездное пространство? Любопытно, что физические законы сохранения энергии и импульса не отрицали возможности обоих вариантов, но можно ли было пролить свет на более детальное описание Солнечной системы?