Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Это изменяет наш взгляд на эффект бабочки. Насекомые могут только подталкивать погоду по одному и тому же странному аттрактору, и это всегда вполне правдоподобная погода. Она лишь слегка отличается от того, что могло бы быть без бабочек.

Давид Рюэль и Флорис Такенс очень быстро нашли потенциальное применение странным аттракторам в физике: обескураживающая проблема турбулентных течений. Стандартные уравнения потока жидкости, известные как уравнения Навье – Стокса, являются дифференциальными в частных производных и как таковые детерминированы. Обычный тип потока жидкости, с ламинарным (струйчатым) течением, – гладкий и постоянный, точно такой, как вы могли бы ожидать от детерминированной теории.

Когда Мэри Картрайт в 1923 г. закончила Оксфордский университет, она стала пятой женщиной, получившей здесь диплом математика. Недолго поработав преподавателем, она защитила докторскую диссертацию в Кембридже. Хотя официально ее руководителем считался Годфри Харди, на самом деле она работала с Эдвардом Титчмаршем, поскольку Харди в то время был занят в Принстоне. Темой ее диссертации был комплексный анализ. В 1934 г. она была назначена младшим преподавателем в Кембридже и в 1936 г. стала руководителем научного направления в Гиртон-колледже.

В 1938 г. в сотрудничестве с Джоном Литлвудом она выполняла заказ Департамента научных и промышленных исследований по дифференциальным уравнениям, необходимым для работы радаров. Ученые открыли, что решения этих уравнений чрезвычайно сложны; это были первые предвестники такого явления, как хаос. Благодаря этой работе Картрайт в 1947 г. стала первой женщиной, избранной членом Королевского общества. В 1948 г. она получила пост главы Гиртона и с 1959 по 1968 г. читала лекции в Кембридже. Она была удостоена многих наград, а в 1969 г. стала дамой-командором ордена Британской империи.

А вот другой тип потока, турбулентный, вовсе не такой ровный: он нерегулярный и едва ли не случайный. Предыдущие теории описывали турбулентный поток либо как особенно сложную комбинацию из слагаемых, каждое из которых очень простое и регулярное само по себе, либо как искаженные турбулентным режимом уравнения Навье – Стокса. Однако Рюэль и Такенс выдвинули третью теорию. Они предположили, что турбулентность есть физическое проявление странного аттрактора.

Поначалу эта теория вызвала изрядный скептицизм, но сейчас мы уже знаем, что она верна по сути, хотя некоторые ее детали вызывают вопросы. Последовали другие успешные ее применения, и слово «хаос» стало признанным названием для такого поведения.

Пора обратить внимание на вторую тему этой главы. В 1870–1930 гг. многие математики независимо друг от друга увлеклись изобретением невозможных форм с единственной целью доказать ограниченность классического анализа.

На самых ранних порах развития исчисления математики пришли к выводу, что всякая непрерывная изменяющаяся величина почти везде должна иметь вполне определенный темп изменения. Например, предмет, непрерывно движущийся в пространстве, имеет четко определенную скорость, за исключением относительно редких моментов, когда она резко меняется. Однако в 1872 г. Карл Вейерштрасс доказал, что это давнишнее утверждение неверно. Предмет может двигаться непрерывно, но так нерегулярно, что его скорость будет резко меняться в любой момент. Это значит, что на самом деле он не имеет разумной скорости вообще.

Стадии построения кривой Гильберта, заполняющей пространство, и треугольник Серпинского

Следующим вкладом в этот странный набор аномалий стали кривые, заполняющие всю область пространства (одну открыл Пеано в 1890 г., другую Гильберт в 1891-м), кривая, пересекающая саму себя в каждой точке (открыта Вацлавом Серпинским в 1915 г.), и кривая бесконечной длины, заключенная в конечной области. Последний пример геометрической странности, открытый в 1906 г. Хельге фон Кохом, получил название кривой-снежинки, и вот как ее можно получить. Нужно взять равносторонний треугольник и добавить к нему треугольные выступы ровно посередине каждой стороны (так, чтобы их основание занимало треть длины стороны), при этом убирая основание каждого выступа, чтобы в итоге получилась шестиконечная звезда. Затем добавить меньшие выступы в середине каждой из 12 сторон и так далее до бесконечности. Из-за шестикратной симметрии в результате получится форма безупречной снежинки. Правда, в природе снежинки растут по иным правилам, но это уже другая история.

Снежинка Коха

Математический мейнстрим тут же провозгласил эти курьезы «патологиями» из «собрания монстров», но с годами число таких возмутительных «курьезов» только росло и уже не могло игнорироваться научным сообществом: точка зрения одиночек дала свои плоды. Логика, скрытая в анализе, так тонка, что очень велика опасность соскользнуть к ошибочным выводам: подобного рода монстры предупреждают нас о том, что что-то не так. Итак, к началу века математики уже успели смириться с собранием этих странных изобретений. Они относились к этому исключительно как к чистой теории, которая не имеет каких-либо практических приложений. Тот же Гильберт в 1900-х гг. мог отзываться обо всей математике как о рае, не опасаясь шквала критики.

Только в 1960-х, вопреки всем ожиданиям, галерея теоретических монстров начала применяться в прикладной науке. Бенуа Мандельброт открыл, что эти нелепые кривые – первые ключи к ожидающей открытия теории самоподобных множеств в природе. Он дал им название «фракталы». До этого ученым вполне хватало традиционных геометрических форм вроде прямоугольников и сфер, но Мандельброт настаивал, что такой подход слишком ограничен. Окружающий мир насыщен сложными и нерегулярными структурами: береговыми линиями, горами, облаками, деревьями, ледниками, речными системами, океанскими волнами, кратерами вулканов, цветной капустой, о которых традиционная геометрия ничего сказать не может. Необходима новая геометрия природы.

Сейчас ученые приняли фракталы как вполне естественный способ мышления, как и их предшественники в конце XIX в., признав нелепые формы, изобретенные их коллегами. Вторая часть статьи «Атмосферная диффузия на дистанционном графе ближайших соседей» Льюиса Фрая Ричардсона от 1926 г., посвященная исследованиям атмосферы, вышла под заголовком «Есть ли скорость у ветра?». Сейчас это кажется вполне резонным вопросом. Движения слоев атмосферы турбулентны, турбулентность – фрактал, а фракталы могут вести себя как монструозная функция Вейерштрасса: двигаться непрерывно, но не иметь определенной скорости. Мандельброт находил примеры фракталов как в многочисленных областях науки, так и за ее пределами: форма дерева, ветвящаяся дельта реки, колебания цен на рынке.