Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Следует заметить, что тот же прием можно использовать и при замене прямоугольника ABCD на параллелограмм. В первый момент такая задача может показаться сложной, однако она решается аналогичным образом.

В офисе директора средней школы им. Джорджа Вашингтона висят 50 почтовых ящиков для учителей. Однажды почтальон принес 151 письмо для учителей. Какое наибольшее число писем может гарантированно получит каждый из учителей?

Нередко человек, столкнувшись с задачей такого рода, действует наугад и не знает с чего начать. Иногда результат приносит метод проб и ошибок, но убедительного решения он точно не дает.

Для решения задач такого рода рекомендуется применять анализ экстремумов. Понятно, что один учитель может получить все письма, однако это не гарантировано . Более реальную оценку ситуации дает экстремальная ситуация, когда письма распределяются предельно равномерно. В этом случае каждый учитель получит по 3 письма за исключением одного, которому попадет еще 151-е письмо. Таким образом, четыре письма — это наибольшее из того, что один учитель может гарантированно получить.

Точка M лежит на середине стороны AB Δ ABC . Точка P может находиться в любом месте на отрезке AM (рис. 5.5). Линия, проведенная через точку M параллельно PC , пересекается с BC в точке D . Какую часть площади Δ ABC составляет площадь Δ BDP ?

Площадь Δ BMC равна половине площади Δ ABC (в силу того, что медиана делит треугольник на две равные части). Площадь Δ BMC = площадь Δ BMD + площадь Δ CMD = площадь Δ BMD + площадь Δ MPD , которая равна площади площади Δ ABC . Это следует из того, что треугольники, вершины которых лежат на линии, параллельной общему основанию, имеют равные площади.

Решение этой задачи значительно упрощается при использовании стратегии анализа экстремальных ситуаций. Поместим точку P в экстремальную позицию так, чтобы она совпадала с точкой M или точкой A . Допустим, точка P совпадает с точкой A . Обратите внимание на то, что по мере смещения точки P вдоль BA в направлении точки A линия MD , которая должна оставаться параллельной PC , смещается так, что D приближается к средней точке линии BC . В конечном положении точки D линия AD становится медианой Δ ABC . Поскольку медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями, площадь Δ PBD равна половине площади Δ ABC .

Данное решение с помощью стратегии анализа экстремальных ситуаций ясно показывает важность отслеживания всех перемещений по мере смещения точки в предельное положение.

Два конгруэнтных квадрата, длина стороны которых равна 4 см, размещены так, что вершина одного из них находится в центре другого. Чему равно наименьшее значение площади пересекающейся части (рис. 5.6)?

Наиболее очевидный прием — построить два квадрата. Некоторые даже вычерчивают их в масштабе и пытаются измерить искомую площадь. Поскольку фигура получается неправильной, измерение ее площади может оказаться сложным.

Другой подход — провести несколько вспомогательных линий, например линии BM и CM . Несложно доказать, что два треугольника BSM и CTM конгруэнтны (конгруэнтность по двум углам и стороне) (см. рис. 5.7). Четырехугольник SCTM равен по площади треугольнику BCM , поскольку площадь треугольника добавляется к площади двух треугольников, которые, как мы доказали, являются конгруэнтными.

Поскольку ориентация квадратов не определена в условиях задачи, их можно разместить так, как нам захочется, лишь бы вершина одного находилась в центре другого. Обратимся к нашей стратегии анализа экстремальных ситуаций. Можно разместить квадраты так, как показано на рис. 5.8, где стороны этих фигур взаимно перпендикулярны.

Если этого недостаточно, чтобы удостовериться в равенстве закрашенной области четверти исходного квадрата, то нужно лишь продолжить линии PM и NM до пересечения со сторонами квадрата в точках J и K соответственно, как показано на рис. 5.9.

Очевидно, что закрашенная область равна площади квадрата, или части 16 см2, т. е. 4 см2. Разместив квадраты в определенном положении, мы легко нашли ответ.

Найдите значение x , которое удовлетворяет уравнению:

На первый взгляд задача кажется настолько ошеломляющей, что большинство людей не знают, как к ней подойти. И это не удивительно.

Посмотрим на это, как на своего рода экстремальную ситуацию. Начнем с того, что количество x в этом ряду бесконечно. Отбрасывание одной неизвестной x не должно никак влиять на результат в силу характера бесконечности. Таким образом, удалив первую неизвестную x , мы обнаружим, что все оставшиеся x так же должны быть равны 2. Это позволяет переписать уравнение, как x 2= 2. Следовательно x = ±√2. Если ограничиться положительными числами, то ответом будет x = √2.

Ниже показано, как с увеличением ряда значение приближается к 2.

Вот мы и нашли удивительно простое решение для очень сложной на первой взгляд задачи.