Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Лучше, однако, взглянуть на задачу с другой точки зрения, начиная с исходной информации: уравнения Если взять обратные величины обеих сторон уравнения, мы получим уравнение вида которое намного легче поддается решению. Поскольку нужно найти значение x + 6, мы просто прибавим 1 к обеим частям этого уравнения и получим или Возьмем опять обратные величины обеих сторон уравнения и получим, что и требовалось найти. Это несомненно более изящный подход.

Дан круг и его диаметр; покажите, как разделить площадь на семь частей равной площади без использования прямых линий.

Обычно при виде такой задачи человек понимает, что циркуль — это то, что надо, и начинает чертить окружности внутри исходного круга в надежде обнаружить какую-либо закономерность. Чаще всего такое упражнение не дает ничего.

Возьмем наш круг и отложим от одного края диаметра отрезок, равный одной седьмой части его длины, как показано на рис. 6.2.

Площадь более светлой закрашенной области можно описать, как площадь половины исходного круга плюс площадь полукруга X минус площадь полукруга Y .

Известно, что отношение площадей кругов прямо пропорционально отношению квадратов их диаметров, поэтому площадь более светлой закрашенной области можно представить следующим образом:

Площадь ( X + Z ) = площадь ( Y + Z ) — площадь ( Y ).

Поскольку у трех полусфер отношение диаметров составляет ( Y + Z ):( Y ):( X ) = 7:6:1, отношение их площадей равно 49:36:1. Используя это, можно увидеть, что отношение площади более светлой закрашенной области к площади большого полукруга составляет (49–36 + 1):49 (или 14:49), иначе говоря, площадь более светлой закрашенной области равна площади большой полусферы. В этом случае отношение площади более светлой закрашенной области к площади целого круга равно Мы умножаем на потому, что представляет собой отношение к площади круга. Используя эту стратегию, мы можем рассмотреть полукруги с диаметрами AC, AD, AE, AF, AG и AH , которые делят площадь круга на семь частей равной площади.

Два поезда, один из Чикаго в Нью-Йорк, а другой из Нью-Йорка в Чикаго (расстояние 800 км) одновременно выходят навстречу друг другу по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. Перед одним из поездов летит пчела со скоростью 80 км/ч. После достижения идущего навстречу поезда пчела разворачивается и летит обратно (все с той же скоростью 80 км/ч). Пчела летает туда-обратно до тех пор, пока поезда не сталкиваются и не сплющивают ее в лепешку. Сколько километров пролетает пчела?

Эта задача может напомнить читателю известный пример, приводимый в большинстве учебников алгебры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала пчела. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.

Значительно более изящный подход предполагает решение упрощенной аналогичной задачи (можно сказать также, что это подход к решению с другой точки зрения). Мы ищем расстояние, которое пролетела пчела. Если знать время, в течение которого летала пчела, то определить пройденное расстояние будет легко, поскольку скорость пчелы известна.

Время полета пчелы узнать несложно, так как оно равно времени движения поездов до столкновения. Для определения времени t движения поездов составим следующие уравнения.

Расстояние, пройденное первым поездом равно 60 t , а второго — 40 t . Суммарное расстояние, пройденное поездами, составляет 800 км. Таким образом, 60 t + 40 t = 800, а t = 8 часам. Иначе говоря, пчела летала 8 часов. Теперь можно найти расстояние, которое пролетела пчела: 8 × 80 = 640 км. Внешне невероятно трудное задание определить расстояние, пройденное летающей туда-сюда пчелы, было сведено к довольно обычной задаче «на равномерное движение», решение которой очевидно.

Имеется произвольно начерченная пентаграмма, показанная на рис. 6.3. Определите, чему равна сумма острых углов при ее вершинах.

Большинство, к сожалению, пытается измерить углы с помощью транспортира (надо надеяться, с достаточной точностью). На основании полученного результата строятся предположения о том, какой должна быть эта сумма.

Мы же воспользуемся стратегией решения упрощенной аналогичной задачи. Иначе говоря, поскольку форма, или правильность не определена, предположим, что это пентаграмма, вписанная в окружность, как показано на рис. 6.4. Если посмотреть на острые углы пентаграммы, можно заметить, что каждый из них является вписанным в окружность углом, равным по определению половине дуги, на который он опирается. Например, Глядя на дуги оставшихся четырех острых углов пентаграммы, видно, что в сумме они составляют полную окружность. Итак, мы знаем, что сумма углов равна половине суммы дуг, на которые они опираются, т. е. она равна половине окружности, или 180º.