Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Какое из следующих чисел имеет наибольшее значение?

1 48, 2 42, 3 36, 4 30, 5 24, 6 18, 7 12, 8 6

С помощью компьютерной программы или даже калькулятора, который может оперировать большими числами, можно попытаться реально определить значение каждого числа. Однако такой подход утомителен и требует много времени. Тем не менее он имеет право на существование.

Воспользуемся стратегией решения более простой аналогичной задачи. Даже при быстром взгляде на числа видно, что показатели степени кратны 6. Если извлечь корень шестой степени из каждого члена ряда (или возвести его в степень), то можно упростить сравнение. Иначе говоря, мы знаем, что все исходные числа являются производными 6-й степени. Таким образом, наибольшее значение в следующем ряду будет связано с наибольшим значением исходных чисел, которые требуется сравнить.

1 8, 2 7, 3 6, 4 5, 5 4, 6 3, 7 2, 8 1.

Значения чисел в этом ряду определить несложно:

2 7= 128; 3 6= 729; 4 5= 1024; 5 4= 625; 6 3= 216.

Остальные числа явно меньше. Итак, наибольшее значение в ряду из восьми чисел, возведенных в степень, имеет 4 30, которое можно представить как (4 5) 6.

Чтобы растянуть удовольствие от бутылки вина объемом 16 унций, Дэвид придумал следующее. В первый день он выпивает только 1 унцию вина и доливает в бутылку столько же воды. Во второй день он выпивает 2 унции смеси вина с водой и опять доливает в бутылку столько же воды. На третий день он выпивает 3 унции смеси вина с водой и вновь доливает в бутылку столько же воды. Процесс продолжается до тех пор, пока на 16 день Дэвид не опорожняет всю бутылку объемом 16 унций. Сколько всего унций воды выпил Дэвид?

В задаче вроде этой очень легко утонуть в деталях. Некоторые, наверное, уже составляют таблицу, вносят в нее данные об объеме вина и воды в бутылке каждый день и пытаются вычислить пропорциональные количества той и другой жидкости, выпиваемой Дэвидом каждый день. Задачу легче решить, взглянув на нее с другой точки зрения, а именно, задавшись вопросом, сколько воды Дэвид добавляет в смесь каждый день. Поскольку он в конечном итоге опорожняет бутылку (на 16-й день), и в ней ничего не остается, Дэвид, надо полагать, выпивает всю долитую воду. В первый день он долил 1 унцию воды, во второй — 2 унции, в третий — 3 унции. На 15-й день в бутылку было добавлено 15 унций воды. (Не забывайте, что в 16-й день вода не добавлялась.) Таким образом, количество воды, выпитой Дэвидом, равно 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 унциям.

Хотя приведенное выше решение имеет право на существование, можно рассмотреть чуть более простую аналогичную задачу и определить, сколько жидкости Дэвид выпил в целом, а потом просто вычесть из результата объем вина, т. е. 16 унций.

Таким образом, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136, и 136 − 16 = 120.

Дэвид выпил 136 унций жидкости, из которой 120 унций приходилось на воду.

Одной из наиболее важных стратегий является организация данных, хотя, на первый взгляд, это понятно и без слов. Иначе говоря, все должны автоматически упорядочивать данные из условий задачи. В жизни мы делаем это подсознательно каждый день.

Так, приступая к заполнению налоговой декларации каждую весну, мы автоматически организуем данные в определенном порядке без всяких подсказок. От того, как будут организованы квитанции, чеки, формы W-2 и т. п., сильно зависит заполнение сложных форм налоговой отчетности.

Большинство людей составляют тщательно организованный список покупок, прежде чем отправиться в супермаркет. Они могут разбивать покупки по категориям, по месту расположения в магазине или по степени необходимости. Аналогичным образом, отправляясь в турпоездку, мы чаще всего составляем перечень того, что хотим посмотреть. При этом список можно изложить на бумаге или просто держать в голове.

Когда крупные организации проводят опросы, нет ничего необычного в том, что они получают разные результаты, — все зависит от того, как в каждом случае организуются одни и те же данные.

В задачах, включающих множество данных, людей нередко приводит в замешательство представление этих данных. Умение организовывать данные в логичной и ясной форме очень помогает решению задач. Рассмотрим одну из задач, где применяется эта стратегия.

Группа археологов ведет раскопки. Они ежедневно на протяжении 15 дней находят множество осколков глиняной посуды:

13, 45, 12, 47, 8, 18, 13, 27, 98, 11, 23, 67, 51, 14, 6.

Чему равно медианное количество найденных ими осколков глиняной посуды?

При таком представлении количества ежедневных находок решить данную задачу практически невозможно. Организуем данные более логичным образом — в порядке возрастания:

6, 8, 11, 12, 13, 14, 18, 23, 27, 45, 47, 51, 69, 98.

Теперь найти медиану не представляет труда. Это среднее число, в нашем случае восьмое, или 18.

Рассмотрим еще одну задачу, где очень важна организация данных.

Джек и Марлин хотят вступить в клуб любителей кино на DVD. Они получают два предложения. Клуб Freedom Movie взимает вступительный взнос в размере $20, а потом берет $6,20 за каждый фильм. Клуб New Look не требует вступительного взноса, однако берет $8,10 за каждый DVD. Джек решает присоединиться к клубу Freedom Movie, а Марлин — к клубу New Look. Сколько DVD каждый из них должен купить, прежде чем Марлин истратит больше Джека? Насколько больше она истратит?

Чтобы решить задачу, организуем данные в три колонки:

Когда они купят по 11 DVD, Марлин истратит больше денег, чем Джек. Марлин придется заплатить $89,10 − $88,20, или на 90 центов больше. Ответы на оба вопроса легко найти, проанализировав представленные в табличной форме данные.

А вот геометрическая задача, решить которую можно только при тщательной организации данных.

Треугольник имеет сумму сторон и периметр, равные 12. Чему равны длины его трех сторон?

Подготовим и организуем перечень данных, обозначив стороны треугольника, как A, B и C. Начнем с A = 1 и перечисления всех возможностей для A = 1. Затем сделаем то же самое для A = 2 и т. д.

В этом перечне все тройки чисел дают сумму, равную 12. Не забывайте, однако, что в треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны, иначе треугольник не может существовать. Это условие исключает большее число сочетаний. Единственные три возможности — это 2–5–5, 4–4–4 и 3–4–5. Представление данных в упорядоченном виде значительно облегчает решение задачи.