Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Первая мысль — составить уравнение. Если обозначить за x время, через которое показания часов совпадут, то мы получим 12 + x = 12 — x . Решение этого уравнения дает 2 x = 0, и x = 0. От такого решения толку мало.

В сутках 24 часа, за это время часы A уйдут вперед на 24 минуты, а часы B отстанут на 24 минуты. Через пять дней часы A уйдут вперед на 5 × 24 = 120 минут, или на 2 часа. В свою очередь часы B будут отставать на 120 минут, или 2 часа каждые пять дней. Воспользуемся нашей стратегией и представим данные в табличной форме.

Из таблицы видно, что на табло обоих часов будет 6:00 в конце 15-го дня. Конечно, одни из них будут показывать 6:00 a.m., а другие — 6:00 p.m. Тем не менее показания совпадут, а именно это и требовалось найти в задаче.

Сколько существует положительных трехзначных нечетных чисел, произведение цифр которых дает число 252?

Чаще всего начинают искать тройки множителей, произведение которых равно 252. Иначе говоря, выписывают наборы из трех цифр, дающие при перемножении 252. Это следует делать упорядоченно, начиная с цифр 1, 1, 252, за которыми следуют 1, 2, 126, затем 1, 3, 84, за ними 1, 4, 63 и т. д. Можно перебирать цифры таким образом до тех пор, пока не попадется хотя бы один набор, который даст нечетное трехзначное число. Не исключено, однако, что таких наборов несколько. Можно ли с уверенностью сказать, что найдены все возможные варианты? «Лобовой» подход не дает нам такой уверенности.

Попробуем применить нашу стратегию организации данных. Можно разложить число 252 на множители 2 × 2 × 3 × 3 × 7. Если одна из цифр 7, то другие цифры должны давать при перемножении 36, т. е. 4 и 9 или 6 и 6, поскольку все другие комбинации включают в себя множители, имеющие более одного знака. Комбинируя эти цифры с 7, мы находим пять чисел, которые удовлетворяют условиям задачи. Это 749, 479, 947, 497, 667 — все они нечетные трехзначные числа, а произведение их цифр равно 252.

Какое число в следующем ряду самое большое и какое число стоит на втором месте по величине?

В наши дни рука автоматически тянется к калькулятору. Однако найти ответ может быть не так просто, как кажется, поскольку не все калькуляторы могут извлекать такие корни.

Сначала для удобства представим члены заданного ряда в виде степеней с дробными показателями:

Эффективной стратегией здесь является организация данных так, чтобы было легко сравнивать.

У класса есть возможность принять участие в походе. Желающих оказалось пять человек, а свободных мест — всего три. В числе желающих — Аманда, Билл, Кэрол, Дэн и Эван. Учитель взял пять листочков бумаги, каждый с именем одного из желающих, положил их в шляпу и вытащил три листочка наугад. Какова вероятность того, что Аманда, Билл и Кэрол попадут в число участников похода?

Сначала определим, сколько вариантов выбора может существовать. Порядок не имеет значения, поэтому это комбинаторная задача. Из пяти листочков выбирают по три за раз:

Поскольку Аманда, Билл и Кэрол могут выпасть только один раз, ответ

Если вы не знакомы с комбинаторными вычислениями, то можете воспользоваться стратегией организации данных. Составим перечень всех возможных сочетаний имен в любом порядке:

Существует 10 возможных вариантов выбора трех человек. Только один из них, а именно ABC, удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, правильным ответом будет один из 10, или

Когда вопросы в задаче касаются определенной геометрической фигуры или рисунка, без слов понятно, что построение схем, или визуальное представление, является неотъемлемой частью метода решения. Это необходимо и помогает решить задачу. Довольно трудно представить, чтобы математики в далекие времена оперировали геометрическими понятиями без рисунков или хотя бы демонстрировали свои геометрические расчеты без использования чертежа. Вместе с тем есть множество задач, где условия не предполагают построения чертежа, однако визуализация того, о чем идет речь, намного облегчает поиск решения. Многие люди лучше воспринимают информацию визуально — чтобы понять происходящее, им нужна картина, а не просто слова. Это не домыслы. Визуализация — очень сильный метод, помогающий вникнуть в данную ситуацию.

Например, когда нужно объяснить, как найти чей-то дом, схема направления движения просто неоценима. Рисунок помогает увидеть маршрут в целом. В журналах и газетах постоянно используются графики и другие визуальные инструменты для сравнения или противопоставления ситуаций. Когда вы покупаете что-то и должны собрать это сами, в руководстве производителя помимо письменных инструкций обычно приводятся рисунки. В большинстве видов спорта, особенно в футболе и баскетболе, тренер объясняет стратегию игры, как правило, с помощью диаграмм, или рисунков с крестиками и ноликами. Все это примеры повседневного использования стратегии схематичного изображения, когда напрямую оно не требуется. В конце концов, не зря же говорят, что лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать.

Возьмем для примера математическую задачу, в которой изначально мало кто ожидает использования визуального представления.

У г-на Адамса есть два теста в запасе для выпускного экзамена по алгебре, которые он хочет использовать в двух классах. В каждом тесте 26 разных вопросов. Он берет первые четыре вопроса из теста 1 и добавляет их в конец теста 2. Затем он берет четыре первых вопроса из теста 2 и добавляет их в конец теста 1. В каждом тесте теперь 30 вопросов. Сколько одинаковых вопросов в обоих тестах?