Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам
- Название:Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам
- Автор:
- Жанр:
- Издательство:Альпина Паблишер
- Год:2018
- Город:Москва
- ISBN:978-5-9614-5172-6
- Рейтинг:
- Избранное:Добавить в избранное
-
Отзывы:
-
Ваша оценка:
Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам краткое содержание
В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике. Для каждой задачи авторы приводят сначала стандартное решение, а затем более элегантный и необычный метод. Так вы узнаете, насколько рассматриваемая стратегия облегчает поиск ответа.
Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок
Интервал:
Закладка:
В этой главе мы представим задачи, которые наиболее эффективно решаются путем организации данных логичным образом. Хотя некоторые из них можно решить и другими способами, они приводятся для демонстрации преимуществ этого вроде бы необычного метода решения.
Задача 7.1
Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс на лучшее исполнение штрафных бросков. В финал выходят Робби и Сэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или в целом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести к победе?
Обычный подход
Большинство начинает с попыток найти все возможные комбинации, которые могут привести к победе. Однако непонятно, как определить, все ли комбинации учтены. Это довольно проблематичная задача.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией организации данных и составим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй — когда первый бросок делает Сэнди.
Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.
Задача 7.2
Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?
Обычный подход
Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно 6 C 3 = 20 . Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.
Образцовое решение
Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC . Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.
Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD . У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC .
Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE .
Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF .
Представим полученные результаты в табличной форме.
Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.
Задача 7.3
Дана последовательность 
Найдите положительное целое число n , при котором произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.
Обычный подход
В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.
Образцовое решение
Напишем сначала произведение первых n членов данной последовательности, что в определенном смысле будет организацией и представлением наших данных в более удобной форме:
«Превышает 100 000» означает, что нам нужно число, большее, чем 10 5, а это происходит, только когда 
или n ( n + 1) > 110. Когда n ≤ 10, мы получаем n ( n + 1) ≤ 110. Таким образом, наименьшее целое значение n , при котором выполняется условие задачи, равно 11.
Задача 7.4
Джером открыл свое первое предприятие по прокату каяков. За прокат он берет почасовую оплату. Каякам присваиваются идентификационные номера, на каждом из них стоят три цифры. Первая цифра — это номер предприятия, а именно 1. Номера у каяков не могут повторяться, а три цифры должны располагаться в возрастающем порядке. Ноль использовать нельзя. Вскоре Джером обнаружил, что использовал все возможные сочетания, которые удовлетворяют условиям. Какое максимальное количество каяков может быть у Джерома?
Обычный подход
Самый распространенный подход — выписывание всех возможных трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Но как узнать, все ли эти числа учтены? Существует ли метод, обеспечивающий гарантированное решение? Обычный подход явно не самый эффективный!
Образцовое решение
Представим наши данные в табличной форме:
Джером может иметь не более чем 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 каяков.
Задача 7.5
Фермер везет яблоки на рынок. Яблоки уложены в шесть ящиков. Весы на пункте взвешивания могут принять за раз только пять ящиков. Нам дают результаты шести взвешиваний:
Ящик B + ящик C + ящик D + ящик E + ящик F = 200 фунтов;
Ящик A + ящик C + ящик D + ящик E + ящик F = 220 фунтов;
Ящик A + ящик B + ящик D + ящик E + ящик F = 240 фунтов;
Ящик A + ящик B + ящик C + ящик E + ящик F = 260 фунтов;
Ящик A + ящик B + ящик C + ящик D + ящик F = 280 фунтов;
Ящик A + ящик B + ящик C + ящик D + ящик E = 300 фунтов.
Сколько фунтов яблок в каждом ящике?
Читать дальшеИнтервал:
Закладка:
