Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Зачастую можно не ограничиваться простым уменьшением сложности исходной задачи, а применить также и другие наши стратегии. Например, найдите десятичное значение числа 1/500 000 000 000.

Воспользоваться калькулятором здесь не удастся, поскольку дисплеи большинства из них не воспроизводят 12-значные числа. Применим две другие стратегии: организуем данные и найдем закономерность. Решим ряд более простых версий нашей задачи, представим результаты в табличной форме, а потом посмотрим, нет ли в них какой-либо закономерности.

Здесь определенно просматривается закономерность. Количество нулей в знаменателе равно количеству нулей между запятой и 2. Поскольку в знаменателе 11 нулей после 5, между запятой и 2 должно быть тоже 11 нулей:

Обратите внимание, насколько упрощенная версия(и) исходной задачи вместе с двумя другими стратегиями облегчают решение. Имейте в виду, что использование нескольких стратегий для решения задачи не редкость.

Баскетбольная команда принимает участие в конкурсе на лучшее исполнение штрафных бросков. Первый игрок успешно выполняет x штрафных бросков, второй — y , а третий — количество бросков, равное среднему арифметическому количества бросков первых двух игроков. Каждый последующий игрок успешно выполняет такое количество бросков, которое равно среднему арифметическому бросков всех предыдущих игроков. Сколько успешных штрафных бросков сделает 12-й игрок?

Некоторые пытаются решить такую задачу через определение среднеарифметического значения для каждого из 12 игроков по очереди. На это нужно много времени и сил. К тому же очень легко сделать ошибку при вычислениях. У задачи наверняка должно существовать более рациональное решение.

Мы начнем с анализа более простой аналогичной задачи. Заменим x и y простыми числами и посмотрим, что происходит. Допустим, первый игрок сделал 8 штрафных бросков ( x ), а второй — 12 ( y ). Тогда счет третьего игрока будет равен их среднему арифметическому, т. е. Четвертый игрок наберет среднее арифметическое бросков первых трех игроков, т. е. а пятый — среднее арифметическое бросков первых четырех игроков, т. е. Ну вот! Счет любого игрока после первых двух всегда равен среднему арифметическому успешных бросков первых двух игроков. Правильным ответом на эту задачу будет среднее арифметическое успешных бросков первых двух игроков, а именно Упрощенная аналогичная задача позволила нам определить метод, который нужно использовать для быстрого решения исходной задачи.

Сумма расстояний от любой точки внутри или на сторонах равностороннего треугольника до трех сторон всегда постоянна. Чему равна сумма этих расстояний, если сторона равностороннего треугольника равна 4?

Существуют несколько способов решения этой задачи. Один из наиболее простых способов — выбрать какую-нибудь точку внутри равностороннего треугольника (т. е. сделать нечто вполне ожидаемое) и провести из нее три перпендикуляра к сторонам (рис. 6.1).

Приравняв площадь Δ ABC и сумму площадей треугольников APB, PBC и CPA при использовании трех высот x, y, z и основания 4, мы получим площадь:

Таким образом, h = x + y + z . В нашем случае высота равностороннего треугольника равна 2 √3. Значит x + y + z = 2 √3.

Без ущерба общему смыслу задачи рассмотрим более простой аналогичный пример, поскольку мы вправе поместить точку P в любом месте внутри равностороннего треугольника или на его сторонах. Если совместить точку P с точкой A , то решение становится очевидным. Перпендикуляры к сторонам AB и AC имеют длину 0, а перпендикуляр к стороне BC — это просто высота треугольника, или 2 √3. Обратите внимание на то, что такую стратегию можно также классифицировать, как анализ экстремальных ситуаций. Мы рассмотрели экстремальную ситуацию, в которой точка совмещена с вершиной треугольника. Это лишний раз подчеркивает гибкость выбора стратегии.

В приведенных ниже выражениях m и n — положительные целые числа, каждое из которых больше 1. Какое из выражений имеет наибольшее значение?

Наиболее очевидный подход — реально выполнить операции как есть и попытаться выяснить, какое из выражений имеет наибольшее значение. Это громоздкий и нудный метод, требующий, к тому же, большого объема вычислений.

Попробуем решить более простую версию этой задачи. Для ее упрощения подставим вместо переменных подходящие положительные целые числа. Пусть m = 2, а n = 4. Тогда выражение (1) будет равно 2 + 4 = 6; выражение (2) — 2–4 = –2; выражение (3) — √16 = 4; выражение выражение Из этого следует, что наибольшее значение имеет выражение m + n.

Традиционный подход заключается в решении уравнения и определении значения x, которое равно Затем это значение подставляют в выражение и получают Конечно, это связано с определенными алгебраическими и арифметическими преобразованиями, однако в конечном итоге дает правильный ответ.