Авинаш Диксит - Стратегические игры

Robert Pool, “Putting Game Theory to the Test,” Science, vol. 267 (March 17, 1995), pp. 1591–93 — прекрасная статья для широкой аудитории, в которой много примеров из биологии. Джон Смит анализирует такие игры в биологии в следующих книгах: John Maynard Smith, Evolutionary Genetics, 2nd ed., (Oxford: Oxford University Press, 1998), ch. 7; Evolution and the Theory of Games (Cambridge: Cambridge University Press, 1982). В первой книге содержится также много информации об эволюции. Продвинутым читателям рекомендуем следующие книги: Peter Hammerstein and Reinhard Selten, “Game Theory and Evolutionary Biology,” in Handbook of Game Theory, vol. 2, ed. R. J. Aumann; S. Hart (Amsterdam: North Holland, 1994), pp. 929–93; Jorgen Weibull, Evolutionary Game Theory (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1995).

На самом деле области применения эволюционной теории не должны ограничиваться теорией игр. Приведенная ниже шутка предлагает «эволюционную теорию гравитации» в качестве альтернативы физическим теориям Ньютона или Эйнштейна.

Вопрос: Почему яблоко падает с дерева на землю?

Ответ: Поначалу яблоки, которые отрывались от веток дерева, отправлялись во всех направлениях. Но только те из них, которые были генетически предрасположены к падению на землю, смогли размножиться.

В контексте рационального поведения, о котором шла речь в предыдущих главах, мы сказали бы, что «отказ от сотрудничества» — это строго доминирующая стратегия.

Эта игра — всего лишь один пример дважды повторяющейся дилеммы заключенных. При других выигрышах в основной игре в случае двойного повторения равного счета может и не быть. Именно такая ситуация сложилась в истории о попавших в тюрьму супругах из главы 4. Если и первичный, и вторичный критерий дают равный счет, ни один из фенотипов не удовлетворяет нашему определению эволюционно устойчивой стратегии, поэтому нам необходимо расширить понимание того, что образует равновесие в эволюционной игре. Мы проанализируем эту возможность в разделе 5, а в разделе 6сформулируем общую теорию решения вопросов, связанных с таким исходом.

Строго говоря, доля определенного типа в популяции представляет собой конечное число и может принимать только такие значения, как 1 / 1 000 000, 2 / 1 000 000 и т. д. Однако если популяция достаточно большая и мы показываем все эти значения на прямой линии (как на рис. 12.4), тогда эти точки находятся очень близко друг от друга и мы можем считать, что они образуют непрерывную линию. Это равносильно допущению, что доля того или иного типа в популяции может представлять собой любое действительное число от 0 до 1. В таком случае мы можем говорить о проценте определенного поведенческого типа в популяции. На том же основании можно утверждать, что если один отдельно взятый член популяции попадает в тюрьму и его удаляют из популяции, это не меняет соотношения в ней различных фенотипов.

Теперь вам следует построить аналогичный график для игры с двумя повторениями. Вы увидите, что линия типа В находится над линией типа О при всех значениях x меньше 1, но у правого края рисунка, где x = 1, эти две линии сходятся.

Можно было бы снять интересную фантастическую комедию под названием «Вторжение тюфяков-мутантов».

Могут существовать также эволюционно устойчивые смешанные стратегии, когда каждый член популяции использует смешанную стратегию. Мы проанализируем эту идею более подробно в разделе 6.Д.

В книге «Теория эволюционных игр» Йорген Вейбулл определяет нейтральную устойчивость как ослабление стандартных критериев эволюционной устойчивости.

Более подробная информация о пятнистобоких игуанах представлена в статье: Kelly Zamudio and Barry Sinervo, “Polygyny, Mate-Guarding, and Posthumous Fertilizations As Alternative Mating Strategies,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 97, no. 26 (December 19, 2000), pp. 14427–32.

В одном из упражнений в главе 7рассматривается рациональное теоретико-игровое равновесие в одной из версий игры КНБ. Вы должны без особых усилий суметь подтвердить тот факт, что в этой игре нет равновесия в чистых стратегиях.

Для того чтобы убедиться в том, что сумма трех долей равна 1, необходимо приложить немного больше усилий, но все же это можно сделать. В целях простоты объяснения идей мы не приводим здесь математические выкладки. В упражнениях, рассчитанных на читателей с достаточной математической подготовкой, мы даем более строгое описание этой динамики.

Результаты исследований по теме кишечной палочки можно найти здесь: Martin Nowak and Karl Sigmund, “Biodiversity: Bacterial Game Dynamics,” Nature, vol. 418 (July 11, 2002), p. 138. Если бы три штамма этой бактерии принудительно перемещались на регулярной основе, один штамм мог бы взять верх над остальными в течение нескольких дней: «победивший» штамм превзошел бы по численности второй штамм, который мог бы быстро уничтожить третий.

Читатели, которые, напротив, хотят получить более подробную информацию по этой теме, могут найти ее в книге: John Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games (особенно с. 14–15). Джон Смит — основоположник теории эволюционных игр.

Если исходная популяция полиморфна и m — это доля типа J, тогда значение m может и не быть малым, Тем не менее в этом случае величина m не играет особой роли, поскольку теперь второй член выражения W (I) — W (J) считается равным нулю.

На самом деле первичный критерий немного более строгий, чем стандартное определение равновесия Нэша, которое больше соответствует критерию нейтральной устойчивости.

В эволюционной биологии игры такого типа называются «асимметричными» играми. Симметричные игры — это игры, в которых игрок не может определить тип другого игрока посредством наблюдения за его внешними характеристиками; в асимметричных играх игроки могут различать друг друга.

Осмелимся предположить, что разделение мужчин и женщин на отдельные виды — это возможность, о которой многие из вас думали хотя бы раз в жизни!

Этот вывод подтверждает и представляет в другом свете свойство равновесий в смешанных стратегиях, согласно которому комбинация стратегий, выбранных каждым игроком, поддерживает безразличие другого игрока в отношении выбора одной из чистых стратегий. Теперь мы можем описать эту ситуацию так: в полиморфном эволюционном равновесии в игре с участием двух видов доля типа каждого вида поддерживает одинаковый уровень приспособленности выживших типов других видов.

Превосходное описание этой классификации можно найти в книге: Lee Dugatkin, Cheating Monkeys and Citizen Bees: The Nature of Cooperation in Animals and Humans (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 2000).