Авинаш Диксит - Стратегические игры

c) Нарисуйте дерево для игры, в которой у Гензеля четыре возможных действия («север», «юг», «восток», «запад») в каждом узле, а у Гретель — два («стоять» или «идти»). Сколько узлов двух типов присутствует в дереве такой игры?

S2.Определите, сколько чистых стратегий (исчерпывающих планов действий) находится в распоряжении каждого игрока в следующих играх. Перечислите все чистые стратегии каждого игрока.

S3.Для каждой из игр, представленных в упражнении S2, вычислите исход, полученный посредством равновесия обратных рассуждений, а также полную равновесную стратегию каждого игрока.

S4.Рассмотрим соперничество между Airbus и Boeing в сфере разработки нового коммерческого реактивного самолета. Предположим, что Boeing лидирует в этом процессе, а в Airbus размышляют, стоит ли вступать в конкурентную борьбу. В случае отказа Airbus получит нулевую прибыль, тогда как Boeing станет монополистом и заработает 1 миллиард долларов. Если Airbus решит вступить в борьбу и создать конкурентоспособный самолет, то Boeing придется решать, уладить ли разногласия с Airbus мирным путем или развязать ценовую войну. Мирная конкуренция обеспечит каждой компании прибыль в 300 миллионов долларов, а ценовая война приведет к потере каждой из них 100 миллионов долларов, поскольку цены на самолеты настолько сильно упадут, что ни одна из них не сможет возместить затрат на разработку самолета.

Нарисуйте дерево этой игры. Найдите равновесия обратных рассуждений и опишите равновесные стратегии компаний.

S5.Рассмотрим игру, в которой два игрока, Фред и Барни, по очереди извлекают спички из кучки. Изначально там находится 21 спичка, и Фред ходит первым. На каждом ходе каждый игрок может убрать одну, две, три или четыре спички. Побеждает тот, кто забрал последнюю спичку.

a) Предположим, осталось шесть спичек и пришла очередь Барни ходить. Какой ход он должен сделать, чтобы обеспечить себе победу? Объясните логику своих рассуждений.

b) Допустим, осталось 12 спичек и настала очередь Барни ходить. Какой ход он должен сделать, чтобы обеспечить себе победу? (Совет: используйте свой ответ в пункте a и примените метод обратных рассуждений.)

c) Теперь начните с исходной точки игры. Если оба игрока выберут оптимальный способ ее ведения, то кто из них победит?

d) Какие оптимальные стратегии (исчерпывающие планы действий) есть в распоряжении каждого игрока?

S6.Проанализируем игру из предыдущего упражнения. Предположим, игроки достигли того момента, когда следующим ходить должен Фред, а спичек осталось всего пять.

a) Нарисуйте дерево этой игры, начиная с пяти спичек.

b) Найдите для нее равновесие обратных рассуждений, начиная с пяти спичек.

c) Можно ли сказать, что в этой игре с пятью спичками существует преимущество первого или второго хода?

d) Объясните, почему вы нашли более одного равновесия обратных рассуждений. Как ваш ответ связан с оптимальными стратегиями, которые вы определили в пункте с предыдущего упражнения?

S7.Элрой и Джуди играют в игру, которую Элрой называет «гонка до 100». Элрой ходит первым, и игроки по очереди выбирают числа от одного до девяти, на каждом ходе прибавляя новое число к промежуточной сумме. Победителем становится тот, кто увеличит промежуточную сумму ровно до 100.

a) Если оба игрока ведут игру оптимальным способом, то кто из них выиграет? Есть ли преимущество первого хода в этой игре? Объясните логику своих рассуждений.

b) Каковы оптимальные стратегии (исчерпывающие планы действий) для каждого игрока?

S8.В римском Колизее только что бросили раба на съедение львам. Три льва посажены на цепь в ряд, причем льву 1 до раба ближе всего. Длина цепи каждого льва такова, что он может дотянуться лишь до двух находящихся рядом с ним игроков.

Игра проходит следующим образом. Сначала лев 1 решает, съесть ли ему раба. Если он съедает, тогда лев 2 решает, съесть ли ему льва 1 (который стал слишком тяжелым, чтобы защищаться). Если лев 1 не съедает раба, тогда у льва 2 не остается выбора: бесполезно пытаться съесть льва 1, поскольку в драке погибнут они оба. Точно так же, если лев 2 съедает льва 1, то лев 3 решает, съесть ли ему льва 2.

Предпочтения каждого льва вполне естественны: лучший исход игры (4) — кого-то съесть и остаться в живых; следующий приемлемый исход (3) — выжить, но остаться голодным; следующий исход (2) — съесть кого-то и быть съеденным; худший исход (1) — остаться голодным и быть съеденным.

a) Нарисуйте дерево этой игры с выигрышами для трех участников.

b) Какое равновесие обратных рассуждений имеет место в этой игре? Обязательно опишите стратегии, а не только выигрыши.

c) Есть ли в этой игре преимущество первого хода? Объясните, почему есть или почему нет.

d) Сколько полных стратегий у каждого льва? Перечислите их.

S9.Три крупных универмага (Big Giant, Titan и Frieda’s) планируют открыть филиал в одном из двух новых торговых центров в районе Бостона. Торговый центр Urban Mall не очень большой и может вместить максимум два универмага в качестве «якорей», но зато он расположен рядом с крупным богатым населенным пунктом. Торговый центр Rural Mall находится дальше, в сельской сравнительно бедной местности и может вместить три якорных магазина. Ни один из трех универмагов не хочет открывать филиалы в обоих торговых центрах, потому что их сегменты покупателей частично пересекаются, а значит, размещение филиалов в обоих торговых центрах будет означать конкуренцию с самим собой. Каждый универмаг склонен работать в торговом центре вместе с одним или несколькими универмагами, а не в одиночку, поскольку такой торговый центр привлекает намного больше покупателей, что увеличивает прибыль каждого магазина. Кроме того, каждый универмаг предпочитает Urban Mall из-за более богатого контингента покупателей. Каждый универмаг должен выбрать между попыткой получить торговую площадь в Urban Mall (зная, что в случае неудачи можно попробовать побороться за место в Rural Mall) и ее получением в Rural Mall сразу же (даже не пробуя попасть в Urban Mall).

В данном случае универмаги так ранжируют пять возможных исходов этой игры: 5 (лучший исход) — в торговом центре Urban Mall вместе с другим универмагом; 4 — в торговом центре Rural Mall вместе с еще одним или двумя универмагами; 3 — один в Urban Mall; 2 — один в Rural Mall; 1 (худший исход) — один в Rural Mall после неудачной борьбы за место в Urban Mall, тогда как другие магазины уже получили лучшие якорные места в Urban Mall.