Авинаш Диксит - Стратегические игры

Поскольку в этих трех магазинах различные системы управления, они с разной скоростью готовят необходимые документы для получения торговой площади в новом торговом центре. В Frieda’s с этим справляются быстрее всех, затем следует Big Giant и наконец Titan, в котором процесс подготовки плана размещения филиала наименее эффективен. После подачи ими заявок на предоставление торговой площади торговый центр решает, какие универмаги выбрать. Учитывая узнаваемость названий Big Giant и Titan среди потенциальных покупателей, торговый центр выберет либо одного из них, либо обоих, прежде чем рассматривать запрос Frieda’s. Следовательно, Frieda’s не получит одну из торговых площадей в Urban Mall, если все три универмага подадут на них заявки; так будет даже в случае, если Frieda’s первым сделает свой ход.

a) Нарисуйте дерево этой игры с размещением универмагов в торговом центре.

b) Проиллюстрируйте процесс отсечения ветвей на дереве в ходе обратных рассуждений и используйте усеченное дерево для поиска равновесия обратных рассуждений. Опишите это равновесие с помощью (полных) стратегий, применяемых всеми универмагами. Какими окажутся выигрыши каждого универмага в случае исхода, полученного в результате равновесия обратных рассуждений?

S10 (дополнительное упражнение).Рассмотрим следующую ультимативную игру с переговорами, которая изучалась в ходе лабораторных экспериментов. Игрок, делающий предложение, ходит первым и предлагает разделить сумму в 10 долларов между собой и вторым игроком. Принцип дележа может быть любым. Например, игрок может оставить себе все 10 долларов, или взять себе 9 долларов и отдать 1 доллар оппоненту, или 8 долларов себе и 2 доллара другому игроку и т. д. (Обратите внимание, что в этом случае у предлагающего игрока одиннадцать возможных вариантов выбора.) Второй игрок, получив предложение о разделении общей суммы, может либо принять, либо отвергнуть его. Если он его примет, оба игрока получат предложенную сумму. Если отвергнет, оба не получат ничего.

a) Постройте дерево этой игры.

b) Сколько полных стратегий находится в распоряжении каждого игрока?

c) В чем состоит равновесие обратных рассуждений в этой игре при условии, что игроков интересует исключительно денежный выигрыш?

d) Предположим, второй игрок, Рейчел, примет любое предложение в 3 (или больше) доллара и отклонит любое предложение в 2 (или меньше) доллара. Допустим, предлагающий игрок, Пит, знает о стратегии Рейчел и хочет получить максимальный денежный выигрыш. Какую стратегию он применит?

e) Истинный выигрыш Рейчел (ее «полезность») может не совпадать с денежным выигрышем. Какие еще аспекты игры могут представлять для нее интерес? С учетом вашего ответа составьте набор выигрышей Рейчел, который бы сделал ее стратегию оптимальной.

f) В ходе лабораторных экспериментов игроки, как правило, не придерживаются равновесия обратных рассуждений. Игроки, делающие предложение, обычно предлагают соперникам сумму от 2 до 5 долларов. А те часто отклоняют предложения 3, 2 и особенно 1 доллар. Объясните, почему, по вашему мнению, происходит именно так.

U1.«В игре с последовательными ходами игрок, делающий ход первым, непременно выиграет». Это утверждение истинно или ложно? Обоснуйте свой ответ посредством нескольких кратких предложений и приведите пример, иллюстрирующий его.

U2.Сколько стратегий (исчерпывающих планов действий) в каждой из представленных ниже игр имеется в распоряжении каждого игрока? Перечислите все чистые стратегии каждого игрока.

U3.Определите для каждой из игр, представленных в упражнении U2, исход, полученный посредством равновесия обратных рассуждений, и полную равновесную стратегию каждого игрока.

U4.В Вашингтоне проходят дебаты по предложениям А и Б. Конгресс предпочитает предложение А, тогда как президент — предложение Б. Эти предложения не взаимоисключающие: оба могут стать законами или быть отклонены. Таким образом, существует четыре возможных исхода, имеющих следующий рейтинг (более высокий показатель означает более предпочтительный исход).

a) Ходы в этой игре выполняются по следующей схеме. Сначала Конгресс решает, принимать ли законопроект и должен ли он включать в себя предложение А, или Б, или оба. Затем президент решает, подписать ли законопроект или наложить на него вето. У Конгресса нет достаточного количества голосов для преодоления вето. Нарисуйте дерево этой игры и найдите равновесие обратных рассуждений.

b) Предположим, правила игры изменились: президент получает право постатейного вето. Таким образом, если Конгресс примет законопроект, содержащий оба предложения, президент может не только выбирать, подписать его или наложить вето, но и накладывать вето лишь на одно из предложений. Постройте новое дерево игры и найдите равновесие обратных рассуждений.

c) Объясните на интуитивном уровне, в чем разница между этими двумя равновесиями.

U5.Два игрока, Эми и Бет, играют в игру, в которой разыгрывается банка с сотней монет номиналом 1 цент. Игроки делают ходы по очереди; Эми ходит первой. Каждый раз, когда наступает очередь одной из участниц ходить, она берет из банки от 1 до 10 центов. Побеждает тот, после чьего хода банка опустеет.

a) Если игроки ведут игру оптимальным способом, то кто из них выиграет? Есть ли в этой игре преимущество первого хода? Объясните логику своих рассуждений.

b) Какие оптимальные стратегии (исчерпывающие планы действий) имеются в распоряжении каждого игрока?

U6.Рассмотрим несколько измененный вариант игры, представленной в упражнении U5.Теперь игрок, опустошивший банку, проигрывает.

a) Присутствует ли преимущество первого хода в этой игре?

b) Какие оптимальные стратегии есть в распоряжении каждого игрока?

U7.Кермит и Фоззи играют в игру с двумя банками, в каждой из которых находится по 100 одноцентовых монет. Игроки делают ходы по очереди; Кермит ходит первым. Всякий раз, когда наступает очередь игрока ходить, он берет из одной из банок от 1 до 10 центов. Побеждает тот, после чьего хода обе банки опустеют. (Обратите внимание, что, когда игрок достает оставшиеся монеты из второй банки, первая банка уже должна быть пустой в результате предыдущего хода кого-то из игроков.)

a) В этой игре имеет место преимущество первого или второго хода? Объясните, кто из игроков может обеспечить себе победу и каким образом. (Совет: упростите игру, начав с меньшего количества монет в каждой банке, и попытайтесь понять, применимы ли сделанные выводы в реальной игре.)