Авинаш Диксит - Стратегические игры

Рассмотрим игру в розыгрыш очка в теннисе, описанную в конце главы 4. Это игра с нулевой суммой, в которой интересы двух теннисисток прямо противоположны. Эверт стремится направить обводящий удар в любую сторону — по линии (ПЛ) или по диагонали (ПД), — не прикрытую Навратиловой, тогда как Навратилова старается прикрыть именно ту сторону, в которую Эверт сделает удар. В главе 4мы отметили, что в такой ситуации Навратилова сможет использовать любой системный выбор Эверт себе на пользу, а значит, во вред Эверт. Со своей стороны, Эверт может использовать любой системный выбор Навратиловой. Для того чтобы этого избежать, каждая теннисистка пытается держать соперницу в неведении с помощью бессистемных или случайных действий.

Однако хаотичность действий не означает выбора каждого типа удара в половине случаев или их чередование. Чередование ударов уже само по себе было бы системным действием, которое можно использовать, поэтому случайная комбинация действий в соотношении 60 на 40 или 75 на 25 (в зависимости от ситуации) может быть лучше, чем 50 на 50. В данной главе мы рассмотрим методы расчета наилучшей комбинации ходов, а также обсудим, как эта теория поможет нам понять фактический ход таких игр.

Наш метод вычисления лучшей комбинации применим также к играм с ненулевой суммой. Однако в них интересы игроков частично совпадают, поэтому когда игрок Б использует системный выбор игрока А с выгодой для себя, это не всегда вредит игроку А. Следовательно, в играх с ненулевой суммой логика действий, согласно которой другого игрока следует держать в неведении, более слабая или вообще отсутствует. Мы поговорим о том, имеют ли равновесия в смешанных стратегиях смысл в таких играх и когда именно это происходит.

Начнем главу с анализа смешивания стратегий в играх два на два, а также с самого прямого метода поиска наилучших ответов и равновесия в смешанных стратегиях. Многие концепции и методы, которые мы сформулируем в разделе 2, сохранят свою актуальность и в более общих играх, а в разделе 6и разделе 7их область применения распространится на игры, участники которых могут иметь свыше двух чистых стратегий. В конце мы выскажем ряд общих наблюдений по поводу смешивания стратегий на практике, а также приведем некоторые эмпирические данные о том, присутствует ли такое смешивание стратегий в реальной жизни.

Когда игроки предпочитают действовать бессистемно, они делают случайный выбор из имеющихся чистых стратегий. В игре в розыгрыш очка в теннисе Навратилова и Эверт выбирают одну из двух заданных чистых стратегий, ПЛ или ПД. Мы называем случайную комбинацию этих двух стратегий смешанной стратегией.

Такие смешанные стратегии охватывают целый диапазон непрерывных значений. На одном его конце вариант ПЛ может быть выбран с вероятностью 1 (гарантированно), тогда как вариант ПД не будет выбран никогда (вероятность 0); эта комбинация представляет собой чистую стратегию ПЛ. На другом конце диапазона вариант ПЛ может быть выбран с вероятностью 0, а ПД — с вероятностью 1; данная комбинация представляет собой чистую стратегию ПД. В промежутке между ними находится целое множество возможностей: ПЛ выбирается с вероятностью 75 % (0,75), а ПД — 25 % (0,25); или оба варианта выбираются с вероятностью 50 % (0,5) каждый; или вариант ПЛ выбирается с вероятностью 1/3 (33,33…%), а ПД — 2/3 (66,66…%) и т. д. [89]

Выигрыши, полученные в результате применения смешанной стратегии, определяются как соответствующие значения взвешенного по вероятности среднего выигрышей от чистых стратегий, входящих в состав данной смешанной стратегии. Например, в игре в теннис из раздела 7 главы 4(против стратегии ПЛ Навратиловой) выигрыш Эверт от стратегии ПЛ равен 50, а от стратегии ПД 90. Следовательно, ее выигрыш от смешанной стратегии (0,75 ПЛ, 0,25 ПД) в игре против стратегии ПЛ Навратиловой составит 0,75 × 50 + 0,25 × 90 = 37,5 + 22,5 = 60. Это и есть ожидаемый выигрышЭверт от данной смешанной стратегии [90].

Вероятность выбора той или иной чистой стратегии — это непрерывная переменная с диапазоном значений от 0 до 1. Стало быть, смешанные стратегии — просто особый тип непрерывно меняющихся стратегий наподобие тех, которые мы изучали в главе 5. Каждая чистая стратегия — это предельный частный случай, в котором вероятность ее выбора равна 1.

Понятие равновесия Нэша также можно расширить, включив в него смешанные стратегии. Равновесие Нэша определяется как совокупность стратегий (по одной на каждого игрока), при которой выбор каждого игрока для него наилучший с точки зрения обеспечения его максимального ожидаемого выигрыша с учетом смешанных стратегий других игроков. Допустимость использования в игре смешанных стратегий автоматически и практически полностью решает проблему возможного отсутствия равновесия Нэша, с которой мы столкнулись в случае чистых стратегий. Знаменитая теорема Нэша показывает, что при самых общих условиях (достаточно широких, чтобы охватывать все игры, рассматриваемые в данной книге, и многие другие) равновесие Нэша в смешанных стратегиях существует всегда.

Таким образом, на самом обобщенном уровне включение смешанных стратегий в наш анализ не подразумевает ничего выходящего за пределы общей теории непрерывных стратегий, сформулированной в главе 5. Тем не менее частный случай смешанных стратегий действительно поднимает ряд особых концептуальных и методологических вопросов, поэтому заслуживает специального изучения.

Начнем с примера игры в теннис из раздела 7 главы 4, в которой не было равновесия Нэша в чистых стратегиях, и покажем, как расширение этой концепции на смешанные стратегии позволяет устранить данный недостаток, а также объясним полученное в итоге равновесие как равновесие, при котором каждый игрок держит соперника в неведении.

На рис. 7.1 воспроизведена матрица выигрышей, представленная на рис. 4.14. В этой игре, если Эверт будет всегда выбирать удар по линии (ПЛ), Навратилова будет прикрывать ПЛ и удерживать выигрыш Эверт на уровне 50. Точно так же, если Эверт будет всегда выбирать удар по диагонали (ПД), Навратилова будет удерживать выигрыш Эверт на уровне 20. Если Эверт может выбирать только одну из двух базовых (чистых) стратегий, а Навратилова — спрогнозировать ее выбор, то более подходящая (или менее неподходящая) стратегия Эверт — ПЛ, обеспечивающая ей выигрыш 50.

Рис. 7.1.Отсутствие равновесия в чистых стратегиях

Но допустим, Эверт не ограничена выбором только чистых стратегий и может применить смешанную стратегию, возможно, именно ту, в соответствии с которой вероятность того, что она выберет ПЛ в каком бы то ни было случае, составляет 75 %, или 0,75, что означает, что вероятность того, что она выберет ПД, равна 25 %, или 0,25. С помощью метода, представленного в разделе 1, можно рассчитать ожидаемый выигрыш Навратиловой при выборе Эверт такой комбинации стратегий. Он составляет: