Авинаш Диксит - Стратегические игры

В свойствах этого равновесия присутствуют общие черты и различия с равновесиями в смешанных стратегиях в игре «встреча». Здесь ожидаемый выигрыш каждого игрока достаточно низкий: (−1/2). Это плохо, как и в случае игры во встречу, но в отличие от нее выигрыш при равновесии в смешанных стратегиях не хуже для обоих игроков, чем выигрыш при двух равновесиях в чистых стратегиях. В действительности, поскольку в данной игре интересы игроков в какой-то степени противоположны, каждый непременно получит более высокий выигрыш от равновесия в смешанных стратегиях, чем от равновесия в чистых стратегиях, подразумевающего выбор варианта «свернуть».

Однако такое равновесие в смешанных стратегиях тоже неустойчиво. Если Джеймс повысит вероятность применения варианта «ехать прямо» до значения чуть больше 1/2, это приведет к выбору Дином чистой стратегии «свернуть». В результате сочетание стратегий «ехать прямо» / «свернуть» становится равновесием в чистых стратегиях. Если Джеймс, наоборот, снизит вероятность выбора варианта «ехать прямо» до значения чуть меньше 1/2, Дин выберет вариант «ехать прямо» и игра снова перейдет к другому равновесию в чистых стратегиях [94].

В данном разделе мы нашли равновесия в смешанных стратегиях в нескольких играх с ненулевой суммой путем решения уравнений, вытекающих из свойства безразличия соперника. Из главы 4мы уже знаем, что в таких играх есть и равновесия в чистых стратегиях. Кривые наилучших ответов позволяют составить исчерпывающую картину, отобразив все равновесия Нэша одновременно. Поскольку вы уже ознакомились с ними в двух отдельных фрагментах книги, мы не будем тратить время и место на построение графиков, а просто подчеркнем, что при наличии двух равновесий в чистых стратегиях и одного в смешанных стратегиях (как в приведенных выше примерах) кривые наилучших ответов пересекаются в трех разных местах, по одному на каждое равновесие Нэша. В конце этой главы мы предложим вам самостоятельно построить графики наилучших ответов для аналогичных игр.

Теперь, узнав, как найти равновесия в смешанных стратегиях в играх с нулевой и ненулевой суммой, целесообразно проанализировать дополнительные свойства этих равновесий. В частности, в данном разделе мы отметим ряд общих свойств равновесий в смешанных стратегиях, а также ознакомим вас с некоторыми результатами, которые поначалу покажутся вам парадоксальными, но лишь до тех пор, пока вы полностью не проанализируете рассматриваемую игру.

Свойство безразличия соперника, о котором шла речь в разделе 2, подразумевает, что в случае равновесия в смешанных стратегиях каждый игрок получает один и тот же ожидаемый выигрыш от каждой из двух своих чистых стратегий, а значит, получит один и тот же ожидаемый выигрыш и от любой их комбинации. Следовательно, равновесия в смешанных стратегиях — это равновесия Нэша только в слабом смысле. Когда один игрок выбирает свою равновесную комбинацию стратегий, у другого нет явных оснований отступать от своей равновесной комбинации. С другой стороны, этот игрок ничего бы не потерял, выбрав другую смешанную стратегию или даже одну из своих чистых стратегий. Каждому игроку безразлично, какую из чистых стратегий или их комбинацию выбрать, до тех пор, пока другой игрок разыгрывает свою правильную (равновесную) комбинацию.

На первый взгляд это сводит на нет принцип использования равновесия Нэша в смешанных стратегиях в качестве концепции решения игр. Зачем игроку выбирать соответствующую комбинацию стратегий, когда другой игрок применяет свою комбинацию? Почему бы не поступить проще, выбрав одну из чистых стратегий? Ведь ожидаемый выигрыш в обоих случаях тот же. Ответ состоит в том, что это не будет равновесием Нэша; такой исход игры не будет устойчивым, поскольку тогда другой игрок отклонится от своей комбинации стратегий. Предположим, Эверт говорит себе: «Когда Навратилова применит свою наилучшую комбинацию ( q = 0,6), я получу один и тот же выигрыш от ПЛ, ПД или их любого сочетания. Так зачем же их смешивать? Почему бы просто не использовать ПЛ?» В таком случае Навратиловой выгоднее перейти к чистой стратегии прикрытия удара ПЛ. Аналогичным образом, если Гарри выберет чистую стратегию Starbucks в игре во встречу, основанной на доверии, то Салли может получить более высокий выигрыш в равновесии 1 вместо 2/3 благодаря переходу с комбинации 50 на 50 на чистую стратегию Starbucks.

Игры с равновесиями в смешанных стратегиях порой демонстрируют свойства, которые на первый взгляд могут казаться противоречащими здравому смыслу. Самое интересное из них — это изменение вероятностей чистых стратегий в равновесной смешанной стратегии, приводящее к изменению структуры выигрышей в соответствующей игре. Чтобы проиллюстрировать это, вернемся к Эверт и Навратиловой и их игре с розыгрышем очка в теннисе.

Предположим, Навратилова усовершенствует навыки прикрытия удара по линии до уровня, при котором результативность Эверт в использовании стратегии ПЛ против стратегии Навратиловой по прикрытию ПЛ сокращается с 50 до 30 %. Такое улучшение мастерства Навратиловой обусловливает изменение таблицы выигрышей, в том числе смешанных стратегий каждой участницы игры, представленной на рис. 7.1. Новая таблица игры отображена на рис. 7.5.

Рис. 7.5.Измененные выигрыши в игре в теннис

Единственное отличие от таблицы на рис. 7.1 наблюдается в верхней левой ячейке, где выигрыш Эверт 50 теперь составляет 30, а выигрыш Навратиловой 50 равен 70. Это изменение не приводит к игре с равновесием в чистых стратегиях, поскольку у ее участниц по-прежнему противоположные интересы: Навратилова все так же хочет, чтобы их выбор совпадал, а Эверт все так же необходимо, чтобы их выбор отличался. Так что мы все еще имеем игру, подразумевающую смешивание стратегий.

Но чем эти равновесные комбинации стратегий отличаются от рассчитанных в разделе 2? Многие могли бы заявить, что теперь, научившись очень хорошо прикрывать ПЛ, Навратилова должна делать это чаще. В основе таких рассуждений лежит предположение о том, что равновесная q -комбинация Навратиловой должна быть в большей степени смещена в сторону ПЛ, а ее равновесное значение q должно превышать рассчитанное значение 0,6.

Но при вычислении q -комбинации Навратиловой на основании условия о безразличии Эверт в отношении выбора между двумя чистыми стратегиями мы получим 30 q + 80(1 — q ) = 90 q + 20(1 — q ), или q = 0,5. Фактическое равновесное значение q (50 %) связано с исходным значением q (60 %) в прямо противоположном смысле по сравнению с интуитивными прогнозами многих людей.