Авинаш Диксит - Стратегические игры

Вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии вратаря можно определить, записав и решив уравнения безразличия бьющего игрока в отношении его выбора из трех чистых стратегий в игре против комбинации стратегий вратаря. Мы будем это делать в ходе анализа несколько измененного варианта этой игры в разделе 7.Б, поэтому здесь опускаем детали и просто приводим полученный результат: q л = 0,325, q п = 0,561 и q ц = 0,113. Выигрыш бьющего игрока от любой из его чистых стратегий в игре против равновесной комбинации стратегий вратаря составляет 75,4. Разумеется, он согласуется с выигрышем вратаря 24,6, который мы вычислили выше.

Теперь можем разъяснить эти выводы. Игрок, выполняющий пенальти, получит более высокий выигрыш от своей чистой стратегии «направо», чем от чистой стратегии «налево», как в случае, если вратарь правильно угадает его ход (60 > 45), так и если он ошибется (95 > 90). (Предположительно игрок будет бить левой, а значит, может сделать более сильный удар направо.) Таким образом, бьющий игрок выберет с самой высокой вероятностью стратегию «направо», и чтобы противостоять этому, вратарь также с высокой вероятностью выберет стратегию «направо»; однако при таком раскладе выигрыш бьющего в итоге составит всего 60, то есть меньше выигрыша 75,4, который он получит при равновесии в смешанных стратегиях.

В равновесии из предыдущего примера вероятность применения стратегии «в центре» в смешанной стратегии достаточно низкая для каждого игрока. Комбинация «в центр» / «в центре» привела бы к гарантированному отражению пенальти, и бьющий игрок получил бы поистине низкий выигрыш, то есть ноль. В связи с чем данный игрок присваивает этому выбору низкую вероятность. Но тогда вратарь также должен присвоить выбору этой стратегии низкую вероятность, сосредоточившись на противодействии более вероятным стратегиям бьющего игрока. Но если последний получит достаточно высокий выигрыш от выбора стратегии «в центр», когда вратарь применит «налево» или «направо», то он будет выбирать «в центр» с определенной положительной вероятностью. Если бы выигрыши бьющего игрока в строке, соответствующей стратегии «в центр», были ниже, то он мог бы использовать стратегию «в центр» с нулевой вероятностью; тогда вратарь также присвоил бы нулевую вероятность стратегии «в центре». При таком развитии событий данная игра превратилась бы в игру с двумя базовыми чистыми стратегиями, «налево» и «направо», находящимися в распоряжении каждого игрока.

Этот вариант игры в футбол показан на рис. 7.11. Единственное различие между выигрышами в данной и первоначальной версии игры ( рис. 7.10) состоит в том, что выигрыши бьющего игрока от комбинации стратегий «в центр» / «слева» и «в центр» / «справа» сократились еще больше, с 85 до 70. Это могло произойти потому, что бьющему игроку свойственно посылать мяч слишком высоко, а значит, он часто промахивается, целясь в центр. Попробуем вычислить равновесие в этой игре, воспользовавшись тем же методом, что и в разделе 7.А. На этот раз сделаем это с позиции вратаря, попытавшись найти вероятности применения чистых стратегий q л, q п и q цв смешанной стратегии с помощью условия безразличия бьющего игрока в отношении выбора между тремя чистыми стратегиями в игре против данной комбинации стратегий.

Рис. 7.11.Вариант игры в пенальти в футболе

Выигрыши бьющего игрока от его чистых стратегий составляют:

«Налево»: 45 q л + 90 q ц + 90 q п = 45 q л + 90(1 — q л — q п) + 90 q п = 45 q л + 90(1 — q л).

«В центре»: 70 q л + 0 q ц + 70 q п = 70 q л + 70 q п.

«Направо»: 95 q л + 95 q ц + 60 q п = 95 q л + 95(1 — q л — q п) + 60 q п = 95(1 — q л) + 60 q п.

Приравняв выражения, соответствующие стратегиям «налево» и «направо», и упростив полученное равенство, имеем 90–45 q л = 95–35 q п, или 35 q п = 5 + 45 q л. Далее приравниваем выражения, соответствующие стратегиям «налево» и «в центр», и упрощаем их, что дает 90–45 q л = 70 q л + 70 q п, или 115 q л + 70 q п = 90. Подставив q п из первого уравнения (сначала умножив все члены уравнения на 2, чтобы вышло 70 q п = 10 + 90 q л) во второе, получаем 205 q л = 80, или q л = 0,390. Затем, подставив это значение q лв любое из уравнений, получим q п = 0,644. И наконец, используем эти оба значения, чтобы получить q ц = 1–0,390 — 0,644 = –0,034. Поскольку значение вероятности не может быть отрицательным, что-то явно пошло не так.

Чтобы понять, что происходит в данном примере, для начала обратите внимание на то, что теперь для бьющего пенальти игрока стратегия «в центр» хуже этой же стратегии в первоначальной версии игры, где вероятность ее выбора уже была достаточно низкой. Однако логика безразличия соперника, выраженная в виде уравнений, приведших к данному решению, означает, что бьющий игрок должен быть готов использовать эту плохую стратегию. Это может произойти только тогда, когда вратарь достаточно редко применяет свою наилучшую стратегию противодействия стратегии бьющего игрока «в центр», а именно стратегию «в центре». В данном примере такую логику рассуждений необходимо продолжать до тех пор, пока вероятность применения вратарем стратегии «в центре» не станет отрицательной.

С сугубо алгебраической точки зрения полученное решение вполне приемлемо, однако оно нарушает требование теории вероятностей и свойственной реальной жизни рандомизации в отношении того, что значение вероятности не может быть отрицательным. Лучшее, что здесь можно сделать, — снизить вероятность выбора вратарем стратегии «в центре» до минимального значения, то есть до нуля. Но в этом случае бьющий игрок не склонен к выбору стратегии «в центр». Иными словами, мы получаем ситуацию, в которой каждый игрок не использует одну из своих чистых стратегий в смешанной стратегии или использует ее с нулевой вероятностью.

Но тогда может ли существовать равновесие, в котором каждый игрок смешивает две оставшиеся стратегии — «налево» и «направо»? Если рассматривать эту сокращенную игру два на два саму по себе, можно без труда найти ее равновесие в смешанных стратегиях. Учитывая, что к настоящему моменту вы уже накопили достаточно большой опыт, мы оставляем детали поиска равновесия вам и приводим только полученный результат.

Вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии бьющего игрока: p л = 0,4375, p л = 0,5625.

Вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии вратаря: q л = 0,3750, q п = 0,6250.

Ожидаемый выигрыш бьющего игрока (процент успеха): 73,13.