Дмитрий Елисеев - Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Разумеется, в большинстве обычных программ, например при написании компьютерной игры, «качеством» случайных чисел можно пренебречь, встроенные алгоритмы вполне неплохи. Но при разработке специализированного ПО, где вопрос криптостойкости имеет значение, стоит уже обратить внимание на то, насколько надежен применяемый алгоритм.

С теорией вероятности связан еще один интересный момент — законы распределения случайных величин. Огромное количество процессов в реальности подчиняются всего лишь нескольким законам распределения.

Возьмем игральный кубик и бросим его много раз. Очевидно, что вероятность выпадения каждого числа одинакова. На графике это можно изобразить примерно так:

Другим примером может быть время ожидания автобуса. Если человек пришел на остановку в случайное время, то период ожидания может быть любым, от нуля до максимума интервала движения.

Возьмем группу людей, например в 100 человек, и измерим их рост. Очевидно, что будет некоторое количество людей небольшого роста, некоторое количество высоких людей, совсем мало очень высоких, и совсем мало очень низких. Такое распределение естественно для многих объектов, не только людей, потому оно и называется нормальным .

Формула нормального распределения совпадает с формулой Гаусса:

Подбирая коэффициенты, можно получить разные виды распределения.

Касаемо роста людей, согласно сайту http://tall.life, график роста для мужчин и женщин имеет следующий вид:

Следующий вид распределения не менее интересен. Рассмотрим события, происходящие с некоторой известной интенсивностью независимо друг от друга, например приход покупателей в магазин. Допустим, в магазин приходит в среднем 10 покупателей в минуту. Какова вероятность, что в какой-то момент времени в магазин придет 20 покупателей?

Вероятность таких событий описывается распределением Пуассона:

График распределения имеет примерно такой вид (в нашем примере λ = 10):

Этим же распределением описываются различные случаи, от вероятности неисправностей (если 0,01% телевизоров имеют неисправность, какова вероятность что в партии из 20 штук окажется 2 неисправных телевизора), до скорости роста колоний в чашке Петри.

Вернемся к нашему примеру с 20 покупателями. В интернете можно найти таблицы значений Пуассона для λ=10. По ним можно найти, что вероятность прихода сразу 20 человек составляет 0,19%.

С бытовой точки зрения, скорость света практически мгновенна. Действительно, свет за секунду может обогнуть Землю 8 раз, а за 2 секунды пролетает расстояние от Земли до Луны. Поэтому до 17-го века про реальную скорость света никто не знал. Как же ее вычислили?

Сегодня опыт по измерению скорости света можно провести даже в школе — достаточно длинного куска кабеля, генератора импульсов и осциллографа. Действительно, задержка сигнала в куске кабеля длиной 50 м, будет равна 50/300000000, или 0,016 мкс — величина которую покажет даже дешевый осциллограф с максимальной частотой 10-20 МГц. Но как же это сделали в 17-м веке, когда не было не то что осциллографов, даже до появления лампы накаливания было еще 200 лет ожидания? Помогли астрономия, геометрия, и разумеется, математика.

Говоря точнее, помогло наблюдение Юпитера и его спутников. Спутники Юпитера были открыты еще Галилеем, увидеть их может каждый, даже с балкона в небольшой телескоп. С увеличением около 300х они видны примерно так:

Период вращения спутников Юпитера невелик, и составляет примерно 2 дня. Уже в 17-м веке измерение времени было достаточно точным (маятниковые часы изобрел голландский физик и математик Гюйгенс в 1657 г.), чтобы датский астроном Олаф Ремер в 1676 году обнаружил расхождение расчетного и реального положения спутника примерно в 16 минут (величина, которую трудно не заметить даже при технологиях 17 века).

Для измерения орбит спутников Юпитера Ремер использовал момент, когда спутник входит в тень Юпитера — момент, который можно измерить довольно-таки точно. Как догадался Ремер, запаздывание во времени было связано с движением Земли по орбите.

Картинка с сайта http://www.speed-light.info:

В момент второго измерения расстояние до Юпитера больше примерно на диаметр орбиты Земли (период обращения Юпитера вокруг Солнца — 12 лет, что гораздо больше земного). Это и приводило к тому, что свет от Юпитера приходил с большим запаздыванием, чем при первом измерении. Сделав подсчеты, Ремер получил значение скорости света в 220000 км/c. В то время конечность скорости света казалась настолько невероятной, что после публикации во французской академии наук далеко не все поверили молодому ученому. Разумеется, последующие измерения подтвердили правильность метода.

Более точное значение было получено лишь через 200 лет, французский физик Луи Физо с помощью зубчатого колеса и двух зеркал получил значение в 312000 км/c. Расстояние между зеркалами было 8,6 км, одно зеркало было расположено в доме отца Физо недалеко от Парижа, второе зеркало было расположено на Монмартре. Физо нашел такую скорость вращения колеса, при котором луч света проходящий через зубец колеса затемнялся, что означало что запаздывание света соответствует скорости вращения колеса.

С предыдущим вопросом связан простой забавный факт. Можно ли лично своими глазами увидеть событие, происходящее например, миллион лет назад? Да, и это очень просто сделать — достаточно посмотреть на небо.