Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Господи боже, Сомс! Как такое может быть?

– Вымогательство, Ватсап. Доказательство вины зависит от формы, которую принимает полоска бумаги, если узел затянуть как можно сильнее, сплющить и хорошенько разгладить. Подозреваю, что этот узелок окажется символом какого-то тайного общества, и, если я смогу это доказать, дело будет сделано, – он поднял бумажный узелок и показал мне. – Что скажете, Ватсап? Какая получится форма, а?

Я быстро набросал простой узел в блокноте.

– Хорошо известно, что простой узел, завязанный на замкнутой в кольцо веревке, обладает трехсторонней симметрией, – сказал я, чувствуя себя необыкновенно умным. – Так что я сказал бы, что получится либо треугольник, либо шестиугольник.

– Тогда давайте попробуем. Проведем эксперимент, – сказал Сомс. – А затем возьмемся за более сложную задачу – попытаемся доказать, что глаза нас не обманывают.

Какую форму приобретает расплющенный узел? Проверьте. Ответ и доказательство см. в главе «Загадки разгаданные».

Арифметическая последовательность (последовательность чисел с постоянной разницей между соседними членами) называется последовательностью степеней , если второй ее член является полным квадратом, третий – кубом и т. д. То есть k -й член такой арифметической последовательности представляет собой k -ю степень. (Это не накладывает никаких ограничений на первый член последовательности, поскольку любое число есть первая степень самого себя.) К примеру, последовательность 5, 16, 27 имеет длину 3 и шаг 11; кроме того,

Тривиальный способ получить последовательность степеней длины n состоит в том, чтобы повторить n раз число 2 n !. Это число является одновременно первой степенью, квадратом, кубом и т. д., вплоть до n- й степени. Шаг в этом случае будет равняться 0.

В 2000 г. Джон Робертсон доказал, что, за исключением таких последовательностей, в которых многократно повторяется одно и то же число, – то есть последовательностей с нулевым шагом, – самая длинная возможная последовательность степеней состоит из пяти членов (имеет длину 5) [21] См.: John P. Robertson. The maximum length of a powerful arithmetic progression, American Mathematical Monthly 107 (2000) 951. . Чтобы получить такую последовательность, возьмите числа 1, 9, 17, 25, 33, образующие арифметическую последовательность с шагом 8, и умножьте каждое из них на 3 245 3011 2417 20. Получившиеся в результате числа тоже образуют арифметическую последовательность с шагом, в восемь раз превосходящим это число. Вот эти числа:

1. 10529630094750052867957659797284314695762718513641400204044879414141178131103515625

2. 94766670852750475811618938175558832261864466622772601836403914727270603179931640625

3. 179003711610750898755280216553833349827966214731903803468762950040400028228759765625

4. 263240752368751321698941494932107867394067962841035005101121985353529453277587890625

5. 347477793126751744642602773310382384960169710950166206733481020666658878326416015625.

Ее шаг равен:

84237040758000422943661278378274517566101748109131201632359035313129425048828125000.

Если обозначить пять членов прогрессии как a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, то a 1есть первая степень самого себя (очевидно);

a 2= 307841957589849138828884412917083740234375² – квадрат;

a 3= 5635779747116948576103515625³ – куб;

a 4= 716288998461106640625 4 – четвертая степень;

a 5= 51072299355515625 5 – пятая степень.

Вот это да!

(Проще всего проверить, что члены последовательности действительно являются заявленными полными степенями, если работать с простыми сомножителями.)

Всякий, кто пьет темное крепкое пиво, такое как «Гиннес», наверняка видел в нем кое-что, на первый взгляд бросающее вызов традиционной физике. Пузырьки в таком пиве движутся сверху вниз. Во всяком случае, создается такое впечатление. Но ведь пузырьки легче окружающей жидкости, так что они должны испытывать на себе действие подъемной силы, толкающей их вверх .

Этот вопрос – настоящая загадка, или, по крайней мере, был таковой до 2012 г., когда его решила команда математиков. Кстати говоря, ирландцев (или по меньшей мере жителей Ирландии): это Уильям Ли, Юджин Бенилов и Каталь Каммингс из Университета Лимерика.

Тот же эффект наблюдается и в других жидкостях, но в крепком пиве его легче увидеть, потому что пузырьки в нем содержат не только углекислый газ, который можно наблюдать в любом пиве, но и азот, а азотные пузырьки меньше и держатся дольше. Отчасти ответ на этот вопрос прост: мы видим только те пузырьки, которые находятся близко к стеклу. Пузырьки в глубине стакана скрыты от нас темным пивом. Так что не исключено, что только некоторые пузырьки опускаются вниз, а остальные поднимаются вверх. Однако таким образом невозможно объяснить, почему вообще хоть какие-то пузырьки опускаются вниз. Они не должны этого делать.

До некоторого момента мы не могли сказать даже, не является ли вся эта история просто оптической иллюзией. Одно из альтернативных объяснений состоит в том, что эффект вызывается волнами плотности – областями, где пузырьки поднимаются вверх. Пузырьки поднимаются, но волны плотности движутся в противоположном направлении. Подобное поведение часто встречается в волновых процессах. К примеру, вода в океанских волнах не движется с ними вместе; по большей части она ходит кругами примерно на одном месте. Движется же то место, где вода поднимается выше всего. Правда, волны, набегающие на пляж, действительно на него набегают; однако отчасти это происходит из-за мелководья, да и вода тут же стекает обратно в море. Если бы вода двигалась вместе с волнами, ей пришлось бы забираться на берег все выше и выше, а это явно противоречит здравому смыслу. Хотя вода не возвращается назад в сколько-нибудь значительном объеме, этот знакомый пример помогает почувствовать разницу между тем, куда движется вода, и тем, куда идут волны. А теперь проделаем то же самое с пузырьками.

Это довольно правдоподобная теория, но в 2004 г. группа шотландских ученых под руководством Эндрю Александера вместе с коллегами из Калифорнии получила видеозаписи, доказывающие, что пузырьки действительно движутся сверху вниз. Свои данные группа опубликовала в День святого Патрика. Чтобы замедлить движение и проследить за отдельными пузырьками, ученые использовали высокоскоростную видеокамеру. Выяснилось, что пузырьки, касающиеся стеклянных стенок, склонны прилипать к ним, так что они не могут двигаться вверх. Однако ближе к середине стакана пузырькам ничто не мешает; пиво поднимается в середине стакана и опускается вниз вдоль стенок, увлекая за собой пузырьки.